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在本文中,我们主要应用非线性泛函分析中的半序理论,锥拉伸与锥压缩不动点理论,对一些非线性边值问题进行讨论,全文共分为五章。
第一章是本文的绪论部分.主要介绍了本文的研究课题.
第二章主要考虑p-laplacian算子型奇异边值问题
{(φ)(u))+q(t)f(t,u)=0t∈(0,1)lim→0+φp(u(t))=u(1+)θ(limt→φp(u(t)))=0其中φp(s)=|s|p-2s,p>1在u=0,t=0,1可以有奇性.在如下条件下:(H1)q∈c(0,1),且在(0,1)上,q>0,且∫1/20φq(∫1/2sq(r)dr)ds+∫11/2φ(q)(∫s1/2q(r)dr)ds<∞,(H2)f:[0,1]×(0,∞)→R是连续的.θ:R→R是连续的不减函数,且θ(0)=0,(H3)有一个不增的序列ρn满足limn→∞=0,且对1/n≤t≤1,q(t)f(t,ρn)≥0,其中n=3,4,…,(H4)存在一个函数α∈c[0,1]∩c1(0,1),φp(α)∈c1[0,1]limt→0+φp(α(t))=()limt→1φp(α(t)))+α(1)=0在[0,1)上α>0,对n=3,4,…,q(t)f(t,u)+φp(α(t))>0(t,u)∈[1/n,1)×0<u<α(t)q(t)f(1/n,u)+φp(α(t))>0(t,u)∈(0,1/n)×0<u<α(t)(H5)对每个n=3,4,…,存在一个函数列βn∈c[0,1]∩c1(0,1),φp(βn)∈c1[0,1]limt0+→φp(βn(t))≤0,θ(limt→1-φp(βn(t)))+βn(1)≥ρn在[0,1]上βn(t)≥ρn;()t∈[1/n,1),q(t)f(t,βn(t))+(φpβn(t))≤0()t∈(0,1/n],q(t)f(1.b,βn(t)+(φpβn(t))≤0(H6)sup{maxt∈[0,1]βn(t)|n=3,4,…}<+∞(H7)φq(∫10q(s)g(α(s))ds)<+∞考虑问题(2.1.1)正解的存在性.得出如下结论:定理2.2.2设(H1)-(H7)成立,那么问题(2.1.1)有一个解u∈c[0,1]∩c1(0,1),φp(u)∈c1(0,1),且在[0,1]上u(t)≥α(t).第三章主要考虑p-laplacian算子型奇异边值问题{(φp(x))+a(t)f(x(t))=0,t∈(0,1),αx(0)-βx(0)=0,rx(1)+δx(1)=0.其中φp(s)=|s|p-2s,p>1,α,γ>0,β,δ≥0,f∈C([0,∞)),a(t)在[0,1/2]上有可数个奇性点.在条件(H)存在数列{ti}∞i=1,使得ti+1<ti,(i∈N),t1<1/2,limi→∞ti=t*≥0,limt→tia(t)=+∞()i=1,2,…,0<∫10a(s)ds<+∞.(3.2.0)并且在[0,1]的任何子区问上a(t)不恒为零.得出主要结果:定理3.2.2假设条件(H)满足,存在{μk}∞k=1,使得μk∈(tk+1,tk),k=1,2,…,令{Rk}∞k=1和{rk}∞k=1,满足Rk+1<μkr(k)<r(k)<∧1rk<Rk,k=1,2…,其中∧1∈(2/L,+∞).对任意的自然数k,假定f满足:(H1)f(x)≥(∧1rk)p-1,()x∈[μkrk,rk],(H2)f(x)≤(∧2Rk)p-1,()x∈[0,Rk],其中0<∧2<{(β/α+1)φq(∫10a(s)ds)}-1则(3.1.1)有无限多个正解{xi}∞i=1,且满足ri≤‖xi‖≤Ri,()i=1,2….第四章主要考虑p-laplacian算子型方程组边值问题{(φp(x))+f(t,x,y)=0,t∈(0,1)(φp(x))+g(t,x,y)=0,t∈(0,1)在如下边值条件{α1φp(x(0))-β1φp(x(0))=0,r1φp(x(1))+δ1φp(x(1))=0,α2φp(y(0))-β2φp(y(0))=0,r2φp(y(1))+δ2φp(y(1))=0,下的解的存在性.其中,φp(s)=|s|p-2s,p>1,αi>0,βi≥0(i=1,2)ri>0δi≥0(i=1,2)f,g∈c([0,1]*[0,∝]*[0,∝),[0,∝))在如下条件成立时:(H)若x(t),y(t)∈K,那么x(t)+y(t)≥ζ(‖x‖+‖y‖)t∈[ζ,1-ζ]其中ζ∈(0,1/2)是常数.得出主要结果:定理4.2.1假设存在两个不同的正常数λ和η,使得f(t,x(t),y(t))≤φp(m1λ),0≤t≤1,0≤x,y≤λ/2,(4.2.1)g(t,x(t),y(t))≤φp(m2λ),0≤t≤1,0≤x,y≤λ/2,(4.2.2)并且f(t,x(t),y(t))≥φp(lη),θ≤t≤1-θ,θη≤x+y≤η,(4.2.3)或g(t,x(t),y(t))≥φp(lη),θ≤t≤1-θ,θη≤x+y≤η,(4.2.4)成立.那么边值问题至少存在一个正解而且介于λ和η之间.定理4.3.1假设存在λ>0,使(4.2.1)(4.2.2)成立,且满足下列条件:(H3)f0(t)≥φp(l/θ),当θ≤t≤(1-θ),或者g0(t)≥φp(1/θ),当θ≤t≤(1-θ),(H2)f∞(t)≥φp(l/θ),当θ≤t≤(1-θ),或者g∞(t)≥φp(l/θ),当θ≤t≤(1-θ),之一成立,则边值问题(4.1.1)-(4.1.2)存在两个解.定理4.3.2假设存在η>0,使得(4.2.3)(4.2.4)之一成立,且满足下列条件:(H1)f0(t)≤φp(m1),0≤t≤1,g0(t)≤φp(m2),0≤t≤1,(H4)f∞(t)≤φp(m1),0≤t≤1,g∞(t)≤φp(m2),0≤t≤1,则存在两个正解(x1,y1),(x2,y2),使得‖(x1,y1)‖≤η≤‖(x2,y2)‖.第五章本文考虑二阶奇异边值问题{u″+f(t,u)=0,t∈(0,1),αu(0)-βu(0)=0,ru(1)+δu(1)=0其中α,γ>0,β,δ≥0,ρ:=βγ+αγ+αδ>0,f(t,u)∈C([0,∞),[0,∞))(H)在t=0,1可以有奇性.得出主要结果如下:定理5.2.1假设存在两个不同的正常数λ和η,使得(h1)f(t,u)≤mλ0≤t≤1,0≤u≤λ,(h2)f(t,u)≥lηθ≤t≤1-θ,θη≤u≤η.那么边值问题(5.1.1)至少存在一个解u(t)介于λ和η之间.定理5.3.1假设存在λ>0,使得条件(h1)成立,且满足下列条件f0(t)≥l/θ,θ≤t≤1-θ;f∞(t)≥l/θ,θ≤t≤1-θ,(5.3.1)那么问题(5.1.1)至少存在两个正解u1,u2满足0<‖u1‖<λ<‖u2‖.定理5.3.2假设存在η>0,使得条件(h2)成立,且满足条件f0(t)≤m,0≤t≤1,f∞(t)≤m,0≤t≤1,(5.3.2)那么边值问题.(5.1.1)至少存在两个解u1,u2,使得0<‖u1‖<η<‖u2‖.定理5.3.3假设条件(H1),(H2)成立,且存在常数0<λ1<λ2使得条件(h1)对于λ=λ2(λ=λ1)成立,条件(h2)对于η=λ1(η=λ2)成立,那么边值问题(5.1.1)至少存在三个正解u1,u2,u3,满足0<‖u1‖<λ1<‖u2‖<λ2<‖u3‖.定理5.3.4令n=2k+1,k∈N,,假设(H1),(H2)成立,并存在常数0<λ1<λ2<…<λn-1,使条件(h2)((h1))对于λ2i-1,1≤i≤k成立,条件(h1)((h2))对于λ2i,1≤i≤k成立,那么边值问题(5.1.1)至少存在n个正解u1,u2,…un,满足0<‖u1‖<λ1<‖u2‖<λ2<…<‖un-1‖<λn-1<‖un‖.定理5.3.5令n=2k,k∈N,,假设(5.3.1),(5.3.2)成立,并存在常数0<λ1<λ2<…<λn-1,使条件(h1)((h2))对于λ2i-1,1≤i≤k成立,条件(h2)((h1))对于λ2i,1≤i≤k成立,那么边值问题(5.1.1)至少存在个n正解u1,u2,…un,满足0<‖u1‖<λ1<‖u2‖<λ2<…<‖un-1‖<λn-1<‖un‖.