在数学理解这个领域,概念性理解与程序性理解一直是国内外热议话题。我国课标指出:“不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤,还要使学生理解程序和步骤的道理。”(1)竖式除法不仅涉及程序性知识,也涉及乘法、减法以及除法的相关概念性知识,是学生学习的重难点,也是进一步学习与理解运算的关键。学生在学习该算法时存在诸多困难,教师一般会通过大量的练习帮助学生记住运算的程序,并不强调算理,导致学生只会计算,却不知为何可以这样计算,也不知道计算过程的实际意义,归根到底源于对算理的不理解。从竖式除法内容来看,整数竖式除法是学生学习小数除法的基础。整数竖式除法的内容包括“被一位数除”和“被两位数除”。学习“被一位数除”是学习“被两位数除”以及“小数除法”的基础。而“三位数被一位数除”相较“两位数被一位数除”而言,计算的程序不变,难度有所增加,因此本文以“三位数被一位数除”为例考察学生对竖式除法的理解现状,发现学生理解存在的困难之处以及背后的原因,从而提出一些建议与措施。本文采用测验法、访谈法、内容分析法进行研究。首先广泛阅读相关文献资料,了解数学理解以及竖式除法的研究现状,将数学理解分为“程序性理解”与“概念性理解”两个维度,然后分别构建研究框架,考察学生在这两个维度上对于竖式除法的理解情况。“程序性理解”维度框架的构建借鉴沃斯的分类方法,主要研究三个问题:学生程序性理解现状如何;存在哪些计算错误;计算错误背后的原因。“概念性理解”维度框架的构建借鉴斯莱斯尼克的问卷,调查学生对5部分内容的理解现状:位值概念;商、余数、部分积的实际意义;横式与竖式的转化;竖式与实际情景的转化以及为何从高位算起。本文参考特蕾莎的理解水平构建“三位数被一位数除”的评价框架,用以评价学生的理解水平。最后选取上海市某所小学四年级全体学生作为研究对象,发放测验卷进行测验并对学生、任课教师进行访谈。主要的研究结论如下:总体来说,学生对于竖式除法的程序性理解情况较好,概念性理解情况较差,即计算正确率较高,但对算理理解情况较差。在程序性理解层次上,学生在计算时主要出现了6种错误:减法错误;乘法错误;余数错误;书写格式错误;抄写错误;关于“0”的错误。其中最后一种错误率较高。究其原因,学生犯程序性错误除了粗心之外,多是概念性理解不佳造成的。在概念性理解层次上,学生对于竖式除法中“位值”概念以及“竖式与实际情景的转化”理解情况较好,对“商、部分积、余数实际意义”以及“横式与竖式的转化”理解情况较差。并且学生对“为何从高位算起”缺乏思考。在理解水平上,绝大部分学生都处于2水平,即能够较好的理解竖式除法中的“位值”概念,但不能理解数的拆分与组合,对于除法模型理解不深刻,无法体会竖式除法的便捷性。影响学生理解困难的原因主要有4点:学生原有知识经验不足;算法规则本身难度大;教师教学不足;教科书呈现方式不足。综上所述,笔者提出5点帮助小学生更好的理解竖式除法的建议:让学生在动手操作中体会算理;在教学中渗透算法多样化的思想;在教学中使用多种表征方式;教科书编排高质量的现实情景例题;教科书中增加多样表征帮助学生理解算理。