本文着重研究黎曼子流形上几何与拓扑的若干问题，主要内容包括子流形的几何刚性、拓扑球面定理和Laplace-Beltrami算子的特征值问题。 刚性理论是子流形几何中久盛不衰的重要方向，其根源可追溯到经典曲面论的高斯绝妙定理。近40年来，这一研究领域取得了许多重要进展，其中关于球面中极小子流形的Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi定理被国际上公认为这方面最重要的成果之一。Okumura、丘成桐、do Carmo等许多学者曾试图证明球面中平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi刚性定理，并获得部分结果。1993年，Xu完整地证明了球面中平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi刚性定理。之后，Xu又证明了单位球而中平行平均曲率子流形整体pinching的刚性定理。本文证明了pinched黎曼流形中平行平均曲率子流形的一个整体pinching定理，并在简洁的几何条件下给出了pinched局部对称空间中极小子流形的整体pinching定理。 1986年，H.Gauchman[25]获得了关于球面中紧致极小子流形的著名刚性定理：设Mn是n+p维单位球面Sn+p(1)中n维紧致极小子流形，h是M的第二基本形式。若对任意单位切向量u∈UM，有σ(u)≤1/3，其中σ(u)=‖h(u，u)‖2，则σ(u)≡0，即M是全测地子流形；或者σ(u)≡1/3，并且可完全确定这类极小子流形的几何结构。对于更为一般的平行平均曲率子流形的情形，本文首次证明了下述广义Gauchman定理：设Mn是n+p维单位球而Sn+p(1)中n维完备平行平均曲率子流形，H为其平均曲率。若对任意单位切向量u∈UM，有σ(u)≤1/3，则σ(u)≡H2，即M是全脐子流形；或者σ(u)≡1/3，并且可完全确定平行平均曲率子流形M的几何结构。 曲率与拓扑是整体黎曼几何核心课题之一。Andersen、Berger、Cheeger、Chern、Colding、Gromoll、Gromov、Grove、Hamilton、Kingenberg、Perelman、Shiohama、Yau等一批著名学者对这一领域作出了杰出的贡献。本文证明了下述拓扑球面定理：设Mn是n+p维单位球而Sn+p(1)中n维完备子流形，若对任意单位切向量u∈UM，有σ(u)＜1/3，则M同胚于Sn(1)。该结果改进和推广了P.Leung[35]的工作。运用Micallef-Moore的方法和技巧，本文还证明了关于n+p维pinched黎曼流形中n(≥4)维紧致单连通子流形的一个拓扑球而定理。 黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的特征值问题是几何分析领域的重要分支之一。Berger-Gauduchon-Mazet、Berard、Chavel、Yau-Schoen[5，2，10，53]对这一领域的发展作了深入、系统的介绍。本文研讨了n+p维黎曼流形中一类n维紧致子流形的特征值问题，获得了截曲率KN≥1的n+p维黎曼流形Nn+p中n维完备子流形的第一特征值最佳下界估计。并运用热核估计的方法，获得了n+p维单位球面中n维完备子流形的高阶特征值的Weyl型几何下界估计。对于紧致带边子流形的情形，本文获得了第一Dirichlet特征值最佳下界估计和高阶Dirichlet特征值的Weyl型几何下界估计。我们还得到第一非零Neumann特征值的最佳下界估计。