非线性普遍存在于物理和工程问题的数学模型中，而精确求解非线性问题是比较困难的，因此研究这些模型的数值解法具有重要意义。　　设计数值计算方法的一个基本思想是数值解法保持原问题的基本特征，基于此思想产生了各种的保结构算法.Hamilton系统的数学框架是辛几何，由辛几何出发，冯康等系统地研究了辛算法，保持辛结构的算法称为辛算法.Hamilton偏微分方程具有多辛守恒律，保持多辛守恒律的方法称为多辛方法.对于李群上的微分方程，保持李群结构的算法称为李群方法.保结构思想也应用于高振荡微分方程。　　对于能量守恒系统，在考虑数值方法时，我们希望数值解法具有较好的能量保守性质.具有能量保守性的数值解法，称为保能量算法.在此方面Quispel，McLachlan，Robidou和Gonzalez等人对保能量的离散梯度方法进行了详细的研究。　　本文中我们以单摆运动引入了经典力学的三种表示形式，介绍了Hamilton系统的方程及其性质、Hamilton系统辛几何算法及对称的数值方法，同时介绍了保持动量及能量的方法，在介绍保持动量及能量的方法时我们先证明了隐式中点方法保持二次不变量，然后给出修改后的隐式中点方法既保持动量又保持能量.同时，我们给出了离散梯度的基本概念以及一些离散梯度的方法.在本文中我们主要研究了一类特殊的Hamilton函数H=fTBf，B=BT，针对这类函数我们给出了一种离散梯度形式，并且研究了这种离散梯度数值解法的对称性.并且我们用具体例子说明由这种离散梯度所给出的数值解法具有较简单的形式。