本博士论文主要研究组合数论中的几个重要问题:关于不变量disc（G）的确定和反问题,关于不变量skexp（G）（G）的确定和反问题,某些二项式系数的最大公因子问题以及最小公倍数倒数和的上界估计问题。设G为有限（加法）交换群,我们用disc（G）表示最小的正整数t,使得群G上的任何一个长度大于等于t的序列S都有两个不同长度的非空零和子序列。在第二章中,我们就一些新的群G,确定了 disc（G）的值。之后,我们围绕不变量disc（G）的反问题进行了研究。我们用L1（G）表示全体能够使得群G上存在一个disc（G）-1长的序列,且其所有非空零和子序列长度均为t的正整数t的集合。我们对某些特殊的群研究了L1（G）得到了一些新结果,这些群包括了幂指数相对于|G|/exp（G）来说比较大的群,秩至多为2的群,群Cpnr,其中3≤r≤p,以及群Cmpn⊕H,其中H为一个p-群且有D（H）≤pn,D（H）表示群H的Davenport常数。特别地,我们找到了一些满足|L1（G）|≥2的群G,从而否定了[1]中的一个猜想。设S为群G上的一个其全体非空零和子序列长度均相同的序列。当G为循环群C且|nS| ≥n+1时,我们刻画了序列S的结构。当群G为Cn⊕Cn且|S|=3n-2=disc（Cn⊕Cn）-1时,我们也刻画了序列S的结构。设exp（G）为有限（加法）交换群G的幂指数。对于正整数k,我们用不变量skexp（G）（G）表示最小的正整数t,使得群G上的任意一个t长序列均包含一个长度为kexp（G）的零和子序列。我们用不变量ηkexp（G）（G）表示最小的正整数t使得群G上的任意一个t长序列均包含一个长度为在1到kexp（G）之间的零和子序列。Gao等人猜想skexp（G）（G）=)ηkexp（G）（G）+kexp（G）-1对于任意的对（G,k）均成立。这一猜想是以前几个猜想的一个共同推广,并且此前人们就一些特殊的对（G,k）证实了该猜想。在第三章中,我们证明对于更多的对（G,k）,这个猜想成立,并且研究了与skexp（G）（G）有关的反问题,即刻画了长度为skexp（G）（G）-1且无长度为kexp（G）的零和子序列的序列S的结构。在第四章中,我们设m和n为正整数。用（（?））=m!/n!（m-n）!表示由m和n组成的二项式系数,其中n!表示n的阶乘。对于任意一个素数p,我们用vp（n）表示最大的非负整数r且使得pr能整除n。在这一章中,我们主要利用p-adic方法证明了有如下等式成立:gcd（{（?）}:1≤k≤mn,gcd（k,m）=1}）=m（?）.此结果大大推广了 Mendelsoh等人在1971年和Albree在1972年得到的结果。在第五章中,我们设n和k为正整数,且满足n≥k+1。设{ai}i=1n为一个任意给定的严格递增正整数序列。令（?）。在1978年,Borwein证明了若n≥2,则Sn,1≤（1-1/2n-1）,其中等号成立当且仅当对于1≤i≤n,均有ai=2i-1。这证明了 Erdos的一个猜想。在第五章中,我们首先改进了 Borwein上界。事实上,我们证明不等式Sn,1≤1/a1(1-1/2n-1)成立,其中等号成立当且仅当ai=2i-1a1对于所有满足1 ≤i≤ n的整数i均成立。紧接着,我们利用这个改良后的上界证明如下结果成立:若有n≥ 3,则有Sn,2≤7/6+1/2|n/2|（2/3δn-7/3）,其中等号成立当且仅当a1=1,a2i=2i和a2i+1=3 × 2i-1（1≤i≤[n/2]）,其中若n为偶数,则δn=0;若n为奇数,则δn=1。我们还证明了若n≥7,则有Sn,3≤17/15-37/15·1/2[n/3]+εn/2[n/3],其中等号成立当且仅当ai=i对于i∈ {1,2,3}和 a3i+1=2i+1（1≤i≤[n-1/3]）,a3i+2=5 × 2i-1（1≤i≤[n-2/3]]）和a3i+3=3 × 2i（1 ≤i≤[n/3]-1）,其中εn=0（若3|n）,或1（若n≡1（mod 3））,或9/5（若n≡2（mod 3））。此外,我们也对于n∈{4,5,6},给出了 Sn,3的紧上界。