【摘 要】
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图染色问题是图论中的重要课题之一,如四色问题等很多图染色的公开问题一直是国内外众多学者研究的热门问题.图的连通性是图论中的重要性质之一,而彩虹连通性和正常连通性是经典连通性的加强,也是重要的图染色问题.2008年,以网络安全性度量为应用背景,Chartrand等人提出并研究了图的彩虹连通数,自此,图的彩虹连通数及其相关问题受到了广泛关注,如今成为图论领域研究中的一个热点课题.本文共包括六章,我们主
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图染色问题是图论中的重要课题之一,如四色问题等很多图染色的公开问题一直是国内外众多学者研究的热门问题.图的连通性是图论中的重要性质之一,而彩虹连通性和正常连通性是经典连通性的加强,也是重要的图染色问题.2008年,以网络安全性度量为应用背景,Chartrand等人提出并研究了图的彩虹连通数,自此,图的彩虹连通数及其相关问题受到了广泛关注,如今成为图论领域研究中的一个热点课题.本文共包括六章,我们主要研究了几类特殊图的全彩虹连通性和正常连通性.第1章,我们介绍了文章中需要用到的基本概念,并给出了需要用到的符号和术语.第2章,我们证明了若图G为一个直径为2的n阶无割边外平面图,则3≤trc（G）≤ 5,进一步若n≥11,则trc（G）=5.对Huang等人的主要结果进行改进,确定了所有彩虹连通数为2和3,直径为2的n阶无割边外平面图.最后,我们修正了 Liu和Wang的主要结果,证明了当n≥ 4时,rcCn*)=∑i=1nli.同时,证明了当n≥ 3时,rvc（Kn*）=rvc（Cn*）=n,且trc（K*n）=trc（C*n）=n+∑i=1nli.第3章,我们首先研究了 Middle图的彩虹顶点连通数和全彩虹连通数,证明了图M（Ps）,M（Cs）,M（K1,s）,M（Ks）的彩虹顶点连通数和全彩虹连通数.其次,我们研究了 To-tal 图 的彩虹顶点连通数和全彩虹连通数,确定了图 T（Ps）,T（Cs）,T（K1,s）,T（Ks）的彩虹顶点连通数和全彩虹连通数.第4章,我们首先给出了关于pc（D）和spc（D）的若干基本结果.其次,给出了仙人掌有向图的（强）正常连通数,证明了若Q为一个（n,q）-仙人掌图且q≥ 2,则Q在ni为偶数且1≤i≤q时,pc（Q）=spc（Q）=2,其他情况时为3.最后,研究了循环有向图的正常连通数.我们还证明了若对于整数k,2≤k≤n-2,则2 ≤spc（Cn（[k））≤ 3.第5章,我们首先研究了关于pvc（D）和spspvc（D）的若干基本结果,并用不同于Ducoffe等人的证明方法为强连通有向图的正常顶点连通数提供了一个紧的上界.其次,研究了仙人掌有向图和循环有向图的（强）正常顶点连通数,并给出循环有向图强正常顶点连通数的紧的例子,同时证明了若T为n≥4的强连通竞赛图,则当diam（T）=2时,pvc（T）=1;当diam（T）≥ 3时,pvc（T）=2.第6章,作为一个推广,我们提出了强连通有向图的全正常连通的概念,证明了强连通有向图的全正常连通数的上界为4,且上界是紧的.同时,我们研究了路的双定向,圈的双定向,完全多部图的双定向,圈图,循环有向图和仙人掌有向图的（强）全正常连通数.
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