【摘 要】
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含旋度算子的偏微分方程组在数学物理领域有着广泛的应用.例如经典电动力学中的Maxwell方程组、非线性电动力学中的Born-Infeld模型、描述超导体性质的各种模型等.另一方面,从数学角度看,含旋度算子的偏微分方程组也颇为值得探究.我们观察到含旋度算子的问题有许多不同于含梯度算子的问题的地方.此外,含旋度算子的问题与许多其他的问题有千丝万缕的联系.比如其与Lame算子之间的关联,其正则性问题与通
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含旋度算子的偏微分方程组在数学物理领域有着广泛的应用.例如经典电动力学中的Maxwell方程组、非线性电动力学中的Born-Infeld模型、描述超导体性质的各种模型等.另一方面,从数学角度看,含旋度算子的偏微分方程组也颇为值得探究.我们观察到含旋度算子的问题有许多不同于含梯度算子的问题的地方.此外,含旋度算子的问题与许多其他的问题有千丝万缕的联系.比如其与Lame算子之间的关联,其正则性问题与通常含梯度算子的经典椭圆方程问题（例如p-Laplace方程、p-growth方程的Dirichlet问题、Neumann问题、斜微商问题等）的基本理论有密切的联系.基于以上考虑,我们希望考察旋度算子、区域的拓扑、方程组的低阶项以及边界条件之间的关系,及它们如何影响解的存在性和正则性,以帮助我们深入理解这类问题与含梯度算子的问题之间的相同、不同之处,建立含有旋度算子的变分问题及偏微分方程组的基本数学理论,并为相关的物理问题提供一些参考.本文分为两章,第一章研究有界域上一类扩展的静磁场Born-Infeld模型,这类问题有明确的物理背景,在非线性电动力学中占据重要地位.我们克服了泛函主项一阶增长、缺乏弱紧性以及对应方程组的退化椭圆性等本质困难,得到了能量有限的非平凡的经典解.第二章研究的是q-curl curl拟线性方程组,这类问题不仅具有典型的数学结构,而且与描述硬超导体临界态的Bean模型有关.我们考察了两类边界条件下方程的解的存在性和正则性,观察到其与诸多经典椭圆方程问题之间的联系,克服了方程主项奇异（1<q<2）或退化（2≤q<+∞）等本质困难,建立了较为系统的数学理论.
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