Hausdorff逼近是研究整体黎曼几何，特别是研究曲率有下界的黎曼流形时的一项重要工具.在Gromov的[28]之后，许多数学家致力于Hausdorff收敛的研究并取得了许多优秀的成果.　　 本文主要研究的便是曲率有下界的黎曼流形.　　 在第二章中我们利用调和1-形式研究了第一贝蒂数等于n且Ricci曲率几乎非负的n维黎曼流形和n维平坦环面之间的关系.令φ是从Mn到n维平坦环面Tn的Albanese映射(见定义2.1.1)，则我们可获得如下结果.　　 定理A.对于任给的n≥3，ν0>0以及充分小的ε>0，若M是一个n-维闭流形，且满足diana(M)=1，Ric(M)≥-ε，b1(M)=n及Vol(M)>ν0，则φ：M→Tn是一个ψ(ε｜εn，ν0)-Hausdorff逼近.　　 在第三章中我们把贝蒂数等于n的情况推广到基本群的幂零指标(见定义3.1.1)等于n的情况.利用分裂定理和Hausdorff收敛，我们可以得到下面的结果。　　 定理B.Mn是一个n维黎曼流形，{gi}∞i=1是M上的一族黎曼度量，并满足diana(M，gi)≤1且Ric(M，gi)>-εi(εi→0).令Mi为M的万有覆盖且赋予其gi的提升度量.假设M的基本群π1(M)有一个有限指标的幂零子群，且其幂零指标为n.则在点则Hausdorff收敛的意义下，我们有limi→∞(～Mi，～Pi)=(Rn，0)，其中～Pi是～Mi中的任意固定点.　　 在第四章和第五章中我们重点考虑正截面曲率的球面。令B：={P∈M｜ヨq∈M，d(q，p)>π/2}，我们可以得到如下定理。　　 定理C.M是一个完备的连通n维黎曼流形，且满足sec(M)≥1，diam(M)>π/2.假设N是其连通的k维全测地闭子流形，且N∩B≠φ.则对于任给的x∈N∩B，我们有radN(x)≥radM(x).进一步，N同胚于k维欧氏球面Sk.　　 这个定理部分地解决了夏在[49]中提出的问题，并推广了他在同一篇文章中的一个定理.同时王在[43]中得到的一个定理亦可看作是定理C的一个直接的推论.　　 此外，我们还对王在该篇文章中提出的如下问题给出了一个反例。　　 问题D.M是一个完备的连通n维黎曼流形，且满足sec(M)≥1，rad(M)>吾。则M上的对径映射限制在其全测地子流形上是否就是M上的对径映射本身?　　 最后，我们研究了正截面曲率黎曼流形上梯度推的性质，并证明了如下结论.　　 定理E.M是一个连通的n维紧致黎曼流形，且满足sec(M)≥1，rad(M)>π/2。若p是M上的一个点，且f(y)=1/2d2(p，y).则由f以及任意起始点z(≠p)决定的梯度曲线都将终止于或是趋向于p的对径点A(p).