整点问题是数论中的一类重要问题，Gauss和Dirichlet最先研究了这类问题并提出了两个著名的论断，即“关于圆内整点个数的Gauss问题”和“Dirichlet除数问题”.设C(R)表示圆x2+y2≤R内的整点个数，Gauss证明了C(R)=πR+△(R),△(R)=O(√R).(1)之后，很多数学家([8,9,13,14,16,21])研究了这一问题并对上式中的余项做出了改进.1993年，Huxley[9]将上式中的余项改进至O（R23/73+ε）.之后，Hux-ley[10]又将(1)式中的余项改进至O（R131/416+ε），这是目前最好的结果.另一问题是Dirichlet研究的双曲线下的整点个数问题.记D(R)表示在第一象限中双曲线xy=R与两个坐标轴所围成区域内的整点个数，则D(R)=∑n≤R(τ)(n)，其中τ(n)为除数函数.因此这一问题又称为除数问题.Dirichlet首先证明了D(R)=R(lnR+2γ-1)+△1(R)，△1(R)=O(√R).(2)之后，上式中的余项不断被改进([11,13,17,18,21]).1985年，Kolesnik[14]将上式的余项改进至O（R139/429+ε）.目前最好的结果是由Huxley[10]得到的，他将(2)式余项改进至O（R131/416+ε）.此外，陈景润[2]和Vinogradov[20]分别研究了三维球面内满足n21+n22+n23≤x的整点个数问题，证明了∑m21+m22+m23≤x mi∈z1=4/3πx3/2+O(x2/3).后来Chamizo[1]和Heath-Brown[6]分别对上述结果的余项做出了改进.　　之后，许多数学家还研究了若干个整数的齐次方和表素数的问题.记Rs,k(x）=∑mk1+mk2+…+mks≤xΛ(mk1+mk2+…mks).(3)2012年，郭汝庭和翟文广[4]对上式中s=3和k=2的情况进行了研究，证明了对任意取定的常数A＞0，有R3,2(x)=Bx3/2+O(x3/2log-A x),其中B是某一个确定的常数.2014年，胡立群[7]还考虑了(3)式中s=4和k=2的情况，证明了对于任意取定的常数A＞0，有R4,2(x)=Cx2+O(x2log-Ax),其中C为某一个确定的常数.　　本文对更一般的s和k研究了(3)式并得到了如下结果.　　定理1设Rs，k(x)如(3)式定义，那么当k≥2,k为偶数且s≥k2+k+1时，有Rs,k(x)=2sB0I0xs/k+O(xs/k log-C x),其中C＞0是一个任意取定的常数，并且B0=∞∑q=11/qsψ(q)q∑a=1(a,q)=1WskCq(-a)，Wk=q∑r=1e（ark/q），Cq(-a)=q∑r=1(r,q)=1e(-ar/q)，I0=∫∞-∞（∫10e(ukβ)du)s(∫10e(-uβ))dβ.