Moser-Trudinger不等式是一类很重要的不等式,它在几何分析和偏微分方程解的存在性问题中有着广泛的应用。近二三十年来,Moser-Trudinger不等式及其相应的极值问题已经得到了广泛的研究,取得了丰硕的成果。但是随着带奇点的Liouuille型方程爆破分析的发展,带奇点的Moser-Trudinger 不等式和相应的极值问题再一次成为了几何分析与椭圆偏微分方程的一个研究热点。最近很多数学工作者对Finsler-Laplacian(各向异性的拉普拉斯)方程和Finsler-Liouville型方程展开了研究,在方程的正则性理论和爆破分析理论方面取得了很大的进展,为研究各向异性Moser-Trudinger 不等式提供了 理论基础和研究动机。基于以上基础,本文主要研究了带各向异性范数的Moser-Trudinger不等式和一类带奇点的Moser-Trudinger不等与其相关泛函极大值函数的存在性,并取得了相应的结果。本文的具体内容可概括如下:第一章简要介绍了本文的研究背景以及Moser-Trudinger不等式的研究进展,同时介绍了本文的主要研究内容。第二章介绍了本文相关的预备知识,包括各向异性函数F(x)的性质以及相关各向异性Laplacian方程的正则性理论。第三章主要研究R2中Wullf球上各向异性Moser-Trudinger不等式与极值问题。我们利用爆破分析、水平集方法和凸对称重排方法证明了各向异性Moser-Trudinger不等式和极大值函数的存在性。第四章主要研究R中有界区域上各向异性Moser-Trudinger不等式与其极大值函数的存在性。由于区域的一般性,第三章中的重排方法不再适用。为此,我们建立了各向异性P.Lions引理,从而为爆破分析提供了理论基础,并且完成了定理的证明。第五章主要研究高维无界区域Rn上各向异性Moser-Trudinger不等式与相其极大值函数的存在性。我们利用第四章有界区域上的极大值函数的存在性结果构造了所考虑问题的极大化函数列,再借助各向异性Green函数的渐近展开式和爆破分析技巧,证明了高维无界区域Rn上各向异性Moser-Trudinger不等式和极大值函数的存在性结果。第六章主要研究二维区域上带多个奇点和余项的Moser-Trudinger不等式与相关极值问题的极大值函数的存在性。使用奇点的定位技巧,我们证明了二维有界区域上带多个奇点和余项的Moser-Trudinger不等式与相关极值问题的极大值函数的存在性结果。