能量散逸性是许多偏微分方程的一个重要特性,如常见的扩散方程,Allen-Cahn程,Cahn-Hilliard方程等都具有能量散逸性.能精确地计算这些偏微分方程数值解的行为且很好地保持这些微分方程的能量散逸特性的数值计算格式对正确地模拟这些微分方程具有显著的优点.这一思想归结于我国早期著名计算数学家冯康院士和他的研究团队提出的辛几何算法.国内外许多学者基于辛几何算法的思想发展了具有多辛结构偏微分方程的多辛方法.近年来提出了哈密尔顿系统的平均向量场方法,是一种有效的离散梯度法,能很好地保持哈密尔顿系统的能量.离散梯度方法同样可应用于能量散逸性的偏微分方程,可以保持能量散逸性偏微分方程的能量散逸性.二阶平均向量场方法已广泛应用于能量散逸性方程,如扩散方程,Allen-Cahn程,Cahn-Hilliard方程等方程的数值求解.最近,国外许多学者发展了高阶离散梯度方法,提出了高阶平均向量场方法并应用于常微分方程的数值计算.我们把高阶平均向量场方法应用于能量守恒的薛定谔类偏微分方程,取得了很好的数值效果.目前,国内外还少有研究把高阶平均向量场方法应用于能量散逸性的偏微分方程中.我们已把高阶平均向量场方法应用于能量散逸性的Cahn-Hilliard方程.然而,在利用高阶离散梯度方法计算Cahn-Hilliard方程时,需要的时间步长非常少和只能计算很短的时间.本论文主要研究高阶平均向量场方法求解Allen-Cahn方程,分析高阶平均向量场方法能否采取较大时间步长并且长时间精确地数值计算,能否长时间保持微分方程的内在的能量散逸特性.同时我们也给出了二维Cahn-Hilliard方程的高阶保能量散逸性格式.第一章,首先给出了能量守恒或散逸性偏微分方程与其变分方程的关系；第二节,给出了几个能擐守恒偏微分方程及其相应的变分方程；第三节介绍了离散梯度方法并给出两个著名的离散梯度方法：平均向量场方法和变分导数方法.第二章,利用高阶平均向量场方法求解能量散逸性Allen-Cahn偏微分方程.第一节介绍了Allen-Cahn方程的背景,并证明了其能量函数的散逸特性;第二节给出了四阶高阶平均向量场方法的理论和计算公式；在第三节中,我们得到了Allen-Cahn方程的高阶精度格式；第四节,我们对Allen-Cahn方程进行数值模拟,并比较了在不同初始值的情况下数值解的演变过程,数值结果表明高阶平均向量场方法能保持Allen-Cahn方程能量散逸特性。第二章,我们对二维Cahn-Hilliard方程进行了初步的探究,介绍了求解二维偏微分方程的拟谱方法；然后利用高阶平均向量场方法和拟谱方法对二维Cahn-Hilliard方程进行离散,得到了高阶的二维Cahn-Hilliard方程的离散格式.