这篇硕士论文主要研究了两类椭圆偏微分方程的解与多重解，主要运用了变分方法的基本方法，如极小极大原理，山路引理等． 在第一章中我们回顾本文所讨论问题的背景． 在第二章中，运用极限指标，我们证明了几个定理，这些定理可以应用于求强不定的非光滑泛函临界点的无穷多解，然后我们把这些定理应用在一个p-Laplacian方程组其中Ω是一个有界区域，这个方程组所对应的泛函未必是光滑的．我们得到了方程组(S)的无穷多弱解． 在第三章中，考虑一类拟线性Schrodinger方程-△u-△(｜u｜2)u+V(x)u=h(u)，u ∈H1(RN)．(3.1.1)的解．运用山路引理和对偶的方法，我们得到方程(3.1.1)的一个非平凡解． 这篇硕士学位论文主要研究了两类椭圆偏微分方程的解与多重解． 在第1章引论中主要介绍论文的研究背景． 在第2章中考虑如下椭圆方程组多重解的存在性，(其中F：F(x，s，t)，Fs= F/ s，Ft= F/ t，)． 这一类方程组所对应的泛函是强不定泛函，无法应用山路定理来证明其含有临界点．文献[27]中作者应用极限指标定理考虑这一类方程组的无穷多解的问题，但在[27]中要求泛函属于C1，这一章中对[27]中的极限指标定理进行推广，并把它应用于求解这一方程组所对应的泛函为连续的情况时的多重解问题． 第2章分为五个部分，第一部分对研究这一问题的背景进行介绍．第二部分回顾了极限指标的一些定义．第三部分得出了运用于连续泛函的形变引理．第四部分运用第三部分得到的形变引理得到两个应用在连续泛函上的抽象的临界点定理，如下：定理2.4.1.若(f1)-(f5)(见第2章)成立，i∞是关于i的极限指标．令Ck=inf supf(x)，i∞(A)≥kx∈A其中A∈∑．假如f满足(PS)c及关于(Xn)的(PS)*c条件.若c=ck有限，则它是f的临界值．更进一步地，若存在某些p≥0满足c=ck=…=ck+p，则i(Kc)≥p+1．定理2.4.2．若(f1)-(f8)(见第2章)成立．如果i∞是关于i的极限指标，则ci=inf supf(x),-k+1≤j≤-m i∞(A)≥jx∈A是f的临界值，且ε1≤c-k+1≤…≤c-m≤ε2，更进一步地，若c=cι=…=cι+r，r≥0，贝i(Kc)≥p+1． 最后一部分将得到的临界点定理应用在求解方程组(S)的多重弱解上，得到定理： 定理2.5.7.假设F满足(F1)-(F4)(见第2章)，其中μ=r+1，则方程组(S)具有一列无界的(在E和L∞(Ω)X L∞(Ω)中)弱解．在第3章中主要研究方程-△u-△(｜u｜2)u+V(x)u=h(u)，u ∈H1(Rn)．(3.1.1)在文献[9]中V(x)满足V ∈C(RN,R)，(VO)зVo>0使V(x)≥V0>0，A X ∈RN，(V1)limx→∞ v(x)=V∞，V(x)≤V∞，A x ∈RN． 本文进行推广，考虑比(V1)更一般的情形：(V2)зV1>0使V(x)≤V1，A x ∈RN． 并对h(s)∈C(R+,R)提出以下条件：(h0)lim｜x｜h(s)/s=0，(h1)存在P，当N=1，2时，10使｜h(s)｜≤C(1+｜s｜p)，A s ∈R，(h2)зμ>4使A s>0，0<μH(s)≤h(s)s． 第3章分为三个部分，第一部分对背景进行介绍，第二部分研究函数的性质，第三部分寻找方程的古典解． 第3章所得到的主要定理为定理3.1.2在(V0)，(V2)，(h0)-(h2)的假设下，方程(3.1.1)具有一个非平凡解．