最优传输理论起源于法国数学家Monge提出的“搬沙问题”,它研究的是物质搬运总成本的最小化问题。由于初始的问题含有难以处理的映射,对于它的研究陷入了瓶颈。后来Kantorovich提出了新的模型,开辟出了一条新的道路,由此之后最优传输理论发展迅速,在许多领域都展现出了巨大的作用。但是在离散度量空间上的相关理论研究很少,而在实际应用中经常会遇到离散问题,也常将问题离散化进行数值模拟。因此,本文特探讨离散度量空间上的最优传输问题,具体内容包括了三种情形下的问题。空间取正整数集,度量取离散距离时,由于度量对元素区分度低,导致对偶函数平凡,对偶方法失去作用。于是本文采用了一些针对于离散点的分析方法进行研究,得到了最优映射存在性及唯一性的充分必要条件。空间取正整数集,度量取Euclid距离时,对偶方法为Kantorovich问题提供了一种易于操作的形式。从传输问题的基本不等关系出发,通过构造特殊的映射及位势函数,本文得出了最优映射存在性的充分必要条件。空间取实数集,度量取Euclid距离,传输前后测度均为仅含原子的测度时,最优映射延续了前一种情形的重要特征,于是本文通过类似的方法得到了最优映射存在性的充分必要条件。作为对研究思路及研究方法的补充,本文还在各部分提供了示例加以说明。