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反问题普遍存在于技术邻域,其研究有极大的发展空间及应用前景。在实际的数学、物理背景下,当所需的参数、算子、初始条件、边界条件等有关数据未知时,可通过求解空间内的己知观测数据来反解模型中的不确定参数值。反问题常常伴随着非线性、不适定性等问题。传统的反问题求解算法一般在己知测量误差特征或测量误差较小的情况下进行。但在实际生活问题中,测量误差存在且不可忽略,使传统算法无法得到精确的解值。本文从概率统计的角度展开,选择贝叶斯理论进行反演。贝叶斯理论简要概括为:根据经验和假设设定先验分布;设定含有误差信息的似然函数;优化先验分布导出后验分布。由于后验分布的复杂性影响,使目标分布难以直接绘制得到。我们采用数值抽样方法近似表达出后验概率分布情况,进而得到参数的近似值。本文从数学角度简述贝叶斯理论,包括先验信息、似然函数的设定及获取,后验信息的导出过程。基于单层贝叶斯模型,设定超参数分布,推理导出多层贝叶斯模型,并进行方法的适定性分析。介绍了MCMC抽样算法,结合经典的Gibbs抽样方法、Metropolis-Hastings(MH)抽样方法导出多层贝叶斯模型下的Metropolis-within-Gibbs方法。创新点在于将pCN方法与Metropolis-within-Gibbs方法相结合,使接受率函数只依赖于似然函数,导出改进的pCN-Metropolis-within-Gibbs方法。此外,本文利用贝叶斯模型和pCN-Metropolis-within-Gibbs方法求解反源问题和地下流中几何逆问题,得到良好的实验结果,并尝试调节相应模型和参数进行优化求解。贝叶斯方法结合pCN-Metropolis-within-Gibbs算法解反问题有以下优点:(1)更好的融合先验信息与误差信息,减少问题求解的不确定性;(2)算法突破不适定问题和局部最优解问题,收敛至全局最优解;(3)可用于高维空间无明确表达式的概率分布密度函数的数值计算;(4)抽样算法通过设定接受准则来构造Markov链,完成随机模拟,其拟合速度快于一般的Monte Carlo方法。