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令D={z∈C∶|z|＜1}是开单位圆盘且D={z∈C∶|z|≤1}是D的闭包。设u(z)=i+z/2，v(z)=i-z/2。在算子理论中，u和v的乘幂的结合用以研究解析函数的各种空间上复合算子的代数和泛函解析性质。
本文针对形如u+cvp这样的函数，主要给出了如下的结果，即：对于p＞0，我们得到了最大常数cp，满足|u|+cp|v|p≤1，|z|≤1。对于0≤p≤1，我们也确定了一切的复数c，满足函数u+cvp是闭单位圆盘的自映射。在此基础上，本文由形如(sz+1-s)i，0＜s＜1这样的函数，利用凸扰动也得出了相应的结论，并进行了一些推广。