论文部分内容阅读
随机偏微分方程是分析和模拟现实系统的重要工具.近年来,随机偏微分方程在流体力学,金融数学,化学,生物学,控制问题等诸多领域都有广泛应用,并获得了很好的发展.抛物Anderson模型就是其中的典型代表,该模型最早是由诺贝尔物理学奖获得者Anderson提出来的用以刻画电子在某种随机晶体中传导的无序模型.此方程物理背景深刻,常出现在动力学和种群动态等相关领域.本论文主要讨论在不同随机积分意义下一类带有非Gauss势的随机抛物A-nderson模型解的存在性问题,我们分别给出了方程mild解和weak解的存在性条件.此外,利用Cole-Hopf变换和抛物Anderson方程的Feynman-Kac公式给出了带有独立于时间的Gauss噪声的KPZ方程的Cole-Hopf解.本论文共分为四章.第一章：概述了抛物Anderson模型和KPZ方程的物理背景及应用,对两类模型的研究现状,取得进展与遇到的问题进行了简要描述.第二章：对本文涉及到的随机微分方程的主要理论进行概述.第三章：研究了带有一类非Gauss势的随机抛物Anderson模型在Ito积分意义下解的存在性问题,具体内容如下：考虑下面的一类随机抛物Anderson模型其中u0（x）是有界可测函数,V（x）是Gauss势,x∈Rd,以及W（t）是1维Brown运动.此模型可以看做是随机势V（t,x）=V（x）W（t）的特殊抛物Anderson模型.随机势中的Brown运动是与抛物Anderson模型相关的一个重要问题.它是用来描述Brown粒子受到随机分布在空间中的障碍影响的轨迹.令K（x）是非负且可以适当选择的形状函数,w（x）是Rd上的随机测度.我们定义随机函数它表示由障碍在点x∈Rd处产生的全部捕捉能量（影响）.在我们的模型（0.0.1）中,要研究的是Gauss势中的Brown运动这个系统受W（t）扰动.也就是说,随机分布在空间中的一族粒子（即一些障碍）服从中心化的Gauss分布w（dx）,这里w（dx）是Gauss随机测度且Ew[|w（dx）|2]=dx.同时，另一个粒子在空间Rd中作随机运动,它的轨迹B（s≥0）是一个d维的Brown运动.W（t）表示外部的随机扰动.在本文中我们假设w（dx）,Bs以及W（s）三者相互独立,记号Ew,E0和Ew分别用来表示关于Gauss测度（dx）, Brown运动Bx和W（s）的数学期望.在这一背景下,（0.0.2）式中V（x）表示由Gauss障碍在x∈Rd这一点处产生的全部捕捉能量.而随机积分表示Gauss障碍和外力W（s）共同作用在Brown粒子上达到时间t的全部影响.首先,我们从无穷可分测度的角度给出高斯Gauss积分的定义,并列出G-auss积分的性质.引理1Borel可测函数f（x）在Rd上关于w（dx）可积当且仅当引理2在条件（0.0.3）下令K（x）≥0是Rd中的函数.考虑随机积分作为关于x的（随机）函数.由Lebesgue测度的平移不变性,当时,（0.0.4）式的随机积分对于每一个x∈Rd是有定义的.下面的引理刻画了Gauss势V（x）=∫RdΚ（y-x）（dy）的连续性.取Μ∈R,[-M,M]d是Rd中的紧区域,考虑距离空间（[-M,M]D,ρ）,距离ρ（x,y）=C|x-y|θ,其中0<θ≤1,并且|·|是欧式范数.引理3假设存在α>0以及C独立于x∈Rd使得则{V（x）；x∈Rd}有连续修正.下面,我们仍然用V（x）表示由（0.0.4）所给的Gauss积分的连续修正,仍记作由Gauss测度w（dx）的平移不变性,对任意的z∈Rd,我们有若u（t,x）有可测版本,则方程（0.0.1）的mild解可以由下面积分方程的解（如果解存在）来定义,其中上式右边的随机积分是取Ito型积分,pt（x,y）是Laplace算子1/2△在Rd上的热核：若积分∫t0V2（Bs）ds和∫t0V（Bs）dW（s）都有定义并且随机场存在,我们在一定条件下利用Ito公式和Markov性证明（0.0.5）中的u（t,x）是模型（0.0.1）的mild解.下面是本章的主要结果.定理4设K（x）满足则当时,有因此,（0.0.5）式中的u（t,x）是方程（0.0.1）的mild解.另外,我们讨论了KPZ方程在独立于时间的Gauss噪声下解的存在性,利用Cole-Hopf变换把方程转化为抛物Anderson模型,通过研究抛物Anderson模型的解来获得该模型的Cole-Hopf解.第四章：考虑在不同的随机积分意义下方程（0.0.1）解的存在性.我们将利用适当的逼近方法证明Feynman-Kac公式型的随机场是模型（0.0.1）的weak解,即对任意在Rd上具有紧支集的C∞函数φ有其中最后的积分项是Stratonovich随机积分.下面是本章的主要结果.定理5设K（x）满足引理（0.0.3）,以及则对于（0.0.6）式中的u（t,x）是方程（0.0.1）的weak解.