进入21世纪以来,科学研究与应用的各个领域中,数据正以着前所未有的速度被广泛收集与存储,而与此对应的,数据处理能力与方法也日新月异,核函数理论作为其中一个璀璨的明星被诸多专家与学者研究与探讨。由于在高维空间解决复杂的分类或回归问题时,会遇到所谓“维数灾难”等问题,而核函数可以将高维空间内积转化为低维输入空间的核函数计算,正由于此核函数被引入到机器学习领域,而至1992年Vapnik的统计学习理论极大的促进了以核函数为理论基础的支持向量机的研究与发展,这使得核函数被广泛应用。与此同时,基于核方法的逼近方法在分类、回归以及我们将要探讨的数值导数、排序问题等诸多数据处理领域有着广泛的应用,其中Tiknonov正则化的学习问题亦广为研究。本文从传统逼近方法出发,对核函数逼近方法中的若干理论与应用进行研究。1、不同于核逼近方法,回顾传统逼近方法。在许多实际问题中,由于信号延迟、测量不准确及其它已知或未知因素,从等距节点采集的数据遭受随机性误差。我们研究并通过将采样节点考虑成随机变量,提出分片线性逼近方法的一种推广,并给出收敛结果和误差估计。2、数值微分问题,产生于诸多数学模型以及实际问题中,该问题需要基于给定数据得到潜在函数的导函数,我们研究并提出了一类新的数值微分逼近方法,基于l1正则化算法,通过对核函数矩阵的计算,给出一种显式的导数逼近方法,并由此给出基于l1正则化方法的数值微分的逼近方法。3、排序问题近些年在诸多领域中被应用,与传统的分类或回归问题又均稍有不同。我们对基于文档对方法的排序问题进行研究,应用核函数逼近技术,计算经验特征函数,我们提出一类由l1正则化格式的排序方法,给出算法的显式表达式,证明格式的收敛阶和稀疏性。4、探讨核函数逼近方法的一些应用,研究在大样本集下核函数矩阵低秩逼近的必要性以及基于核方法的偏微分方程数值解。此外,由于金融模型在金融领域有着至关重要的作用,然而在金融模型的建立中,所得到的数据经常具有扰动而导致问题的“病态性”,我们引入正则化方法,给出几个金融基本模型的参数校正策略,同时。在风险控制中,对冲模型是其主要方式,我们应用我们的正则化模型,用来解决对冲模型中对数值导数的计算。