计算机辅助设计和计算机辅助制造技术起源于航空工业,由于飞机的外形复杂,含有大量的自由曲线曲面,因此,CAD/CAM技术从一开始就与自由曲线曲面造型技术紧密的联系在一起。至今,随着计算机图形学和计算机辅助设计与制造技术的不断发展,曲线曲面造型技术在现代工业产品设计和制造中的应用越来越广,在社会各行各业都得到了更为广泛的应用,范围覆盖了航天技术、数字化城市、媒体设计、医疗可视化及工业产品设计等,并产生了巨大的经济效益。其中在曲线造型技术中,曲线拟合是一项古老而常用的技术,是模式识别、计算机视觉和逆向工程中的一项基本工作,CAD和CAGD中的许多问题都与拟合问题有关,在工程、统计和计算机图形学等方面,曲线拟合有着广泛的应用。其次,为了构造形状较好的曲线,曲线参数化方法也是一个关键的问题,选择合适的曲线参数化方法不仅会给多种操作带来方便,而且会得到理想的曲线形状。另外,曲线形状优化模型的选择与构造也直接影响曲线造型的效果。近年来,对曲线造型问题的研究取得了大量的理论和应用成果,但仍然有很多问题有待解决,例如如何较好的对平面上的散乱数据点进行曲线拟合,如何构造新的形状优化模型,使构造的曲线具有理想的形状等都是目前研究的热点问题,但仍然没有很好的解决方法,因此有待我们进行更深一步的研究。基于以上研究问题,本文的工作主要围绕三个方面展开讨论：1)平面上散乱数据点的隐式二次曲线拟合方法研究；2)满足端点约束和弦长参数的三次有理曲线的构造；3)曲线形状和优化模型的关系讨论。本文就这几个问题的解决给出了新的理论和算法,具体的研究工作和成果包括：1、平面上散乱数据点的隐式二次曲线拟合方法对于平面上散乱数据点的隐式二次曲线拟合问题,选取数据点到拟合曲线的代数距离极小作为目标函数,提出了基于坐标变换和系数加权组合的两种拟合方法。在基于坐标变换的拟合方法中,考虑到如果采用非几何不变量的约束条件,在不同的坐标系下会得到不同的拟合结果这一事实,研究了如何对原始坐标系通过平移和旋转变换得到一个新的坐标系,在新坐标系下进行曲线拟合,然后把拟合曲线反变换到原始坐标系下,从而保证了拟合曲线的逼近效果更好。在系数加权组合的拟合方法中,首先对数据点分别做指定椭圆、双曲线和抛物线形状的曲线拟合,得到三组拟合曲线,然后对这三组曲线的系数加权组合,通过极小化点线间的代数距离平方和,得到最终的拟合曲线,这样得到的曲线不仅能够保持二次曲线数据点的来源形状,而且可改进一般数据点的拟合效果。此外,针对较常用的椭圆拟合中存在的高曲率偏差问题,提出了一种调整该偏差的新的目标函数。2、满足端点约束和弦长参数的三次有理曲线的构造曲线弧长参数化是曲线造型中最好的选择,但对于非线性多项式曲线及有理曲线,却无法采用弧长参数,因此,人们经常用弦长参数来近似表示弧长参数,并应用于离散数据点的插值和逼近中。已有的研究工作给出了满足弦长参数的三次有理Bezier曲线的构造方法,在该研究基础上,我们通过分析其所构造曲线的三个性质,提出了满足端点约束和弦长参数的三次有理Bezier曲线的构造方法。该方法针对整个切矢角区域(α0,α1)∈[-π,π]×[-π,π],采用的是分段曲线的构造思想,并且证明了曲线段数最多为三段,曲线整体满足G1连续,在某些情况下满足C1和G2连续。3、曲线形状和优化模型的关系在曲线造型问题中,曲线能量极小或曲率变化率极小是比较常用的形状优化模型。为讨论曲线形状和优化模型的关系,我们分别以三次Hermite曲线和三次样条曲线作为研究目标。对于给定两端点位置和切向的三次Hermite曲线的构造问题,分别以曲线能量极小和曲线曲率变化率极小作为目标函数,采用数值计算技术求解三次Hermite曲线的切矢模长,实验结果表明,对于切矢角区域(θ,φ)∈[-π,π]×[-π,π]:(1)很多情况下的三次Hermite曲线不能直接由极小化曲线能量或曲线曲率变化率构造出来；(2)通过求解曲线能量或曲率变化率的局部极值,可以构造大约60%的三次Hermite曲线,但是有一部分曲线并不具有理想的形状。极小化曲线能量或曲线曲率变化率构造三次样条曲线的实例同样表明,在很多情况下,所得到的曲线并不具有理想的形状。极小化曲线能量或极小化曲线曲率变化率,作为堪称经典的形状优化模型,却在很多情况下构造不出理想的曲线形状,因此迫切需要我们构造新的形状优化模型,来满足不同插值条件下的曲线造型问题。