近年来，以变分方法、偏微分方程(PDE)和稀疏表示为代表的数学工具活跃在图像处理的各个研究领域，它们已经成为研究图像处理和计算机视觉的三大基本工具。本论文主要围绕三者在图像处理中的应用进行建模和算法研究。主要做了以下几个方面的工作：1.提出了两种新的图像修复模型。一是基于非局部扩散的图像修复模型。该模型能够在扩散的过程中充分利用图像的全局信息对损坏的区域进行修复，克服了变分和偏微分方程方法在修复图像时易产生模糊以及不能保持图像纹理信息的不足；二是基于交替迭代的变分修复模型。该模型由于耦合了两个变量，因此新算法中首先采用交替极小化方法对其进行解耦，其次对解耦的两个子模型分别利用分裂Bregman方法进行数值求解。由于分裂Bregman方法的快速收敛性质，使得新算法的修复速度加快，提高了算法的运算效率。实验结果表明，这两种修复模型均能够获得较好的修复效果。2.针对加性噪声去除的ROF模型在去噪过程中易导致阶梯效应(StaircaseEffect)的缺陷，在研究LOT模型的基础上，提出了一种新的变分去噪模型。该模型可以通过交替极小化方法化为两个简单的子模型，其中一个子模型被用于重构角，另一个被用于重构图像。在计算方法上，我们分别采用分裂Bregman方法对两个子模型进行交替求解。实验结果表明，提出的新算法不但收敛速度较快，而且在去噪过程中能够减缓阶梯效应并能较好地保持图像的边缘信息。3.针对乘性噪声去除问题，结合变分方法、偏微分方程、稀疏表示以及字典学习这几个数学工具，在对数域提出了一种去除乘性噪声的稀疏正则化方法。该方法主要包括三步：首先，采用稀疏表示和字典学习的方法获得一个较优的log图；其次，对获得的log图利用总变分(TV)模型进行校正；最后，将校正后的结果用一个指数函数和偏差纠正从对数域变回到真实的图像。实验结果表明，新方法在能有效去除乘性噪声的同时还能较好地保持图像的纹理特征。4. TV正则虽然具有良好的保边性能，但它在去噪过程中容易导致阶梯效应，针对这一缺陷，利用最近提出的总广义变分(TGV)，在对数域建立了一种新的去除乘性噪声的正则化模型，并从数学上证明了该模型解的存在唯一性。由于TGV的诸多优点，使得新模型在有效去除乘性噪声的同时既避免了阶梯效应的产生又较好地保持了图像的细节特征。在数值计算上，我们采用一阶原始－对偶算法和牛顿迭代方法对新模型进行求解。实验结果表明，所提出的算法无论是在视觉效果上还是峰值信噪比(PSNR)上都能获得较好的结果。5.乘性噪声去除在相干成像系统以及各种各样的图像处理应用中具有十分重要的意义。目前去除乘性噪声的大部分数学模型都是基于正则化方法的，求解这类模型一般都需要知道噪声强度的先验信息，然而，这些信息在某些情况下并不能获得，针对这个缺陷，提出了两种去除乘性噪声的投影方法，并通过利用对偶方法和变量分裂技巧给出了三种快速的数值算法。实验结果表明，所提出的去噪算法不仅收敛速度快，而且在噪声强度先验信息未知的情况下也能有效地滤除乘性噪声。