本文主要研究了微分方程解的振动准则及一类分数阶微分方程的Lyapunov型不等式,改进了 Lyapunov型不等式的已有结果.本文主要分四章.第一章概述了分数阶微积分和Lyapunov型不等式的研究背景以及本文用到的相关定义.第二章讨论具有强迫项的非线性分数阶微分方程 的区间振动性,其中t ≥>0,0<t<1)表示关于变元t的Modified Riemann-Liouville导数,r(t)∈Cα([l0,∞)R+),p(t),e(l)∈C([t0,∞),R,Ψ((x)∈C(R,R)且0<Ψ(x)≤ m,在x≠0 时,F(t,x)·x>0 成立.根据 Modified Riemann-Liouville 导数的定义及一些性质,利用广义Riccati变换,得到了具有强迫项的非线性分数阶微分方程的区间振动准则,推广并改进了已有文献中的一些成果.第三章考虑以下具有非单调项的二阶微分方程的振动性: 和 其中y(k):=x(t)+p(l)x(δ<δ(l)),Φα(α)= |u|α-1u,α>0.qi(t)∈C([t0,∞),R+),Ti(t),σi(t),1 ≤i ≤ m是非单调的正函数.利用降阶法及相关的不等式知识,将带有非单调项的二阶微分方程转变为一阶微分方程,之后运用一阶微分方程的相关结果,得到了该类方程的振动准则,改进了以往的二阶微分方程解的振动结果.同时,给出了相应的例题加以说明.第四章建立以下方程的Lyapunov型.不等式:其中0<uk<2,1 ≤k≤ n,α ∈(2,3],β ∈(1,2].主要方法是应用代数不等式和已知的一些结果得到新的结论,拓广了已有的Lyapunov不等式.