相场数学模型利用引入的纯量相函数,刻画了不同相物质组分的扩散运移与界面的形成与发展过程,在多相流体力学[17,85,86]、晶体生长[70.102.104]、固体力学[24,20,121]等重要自然过程中具有广泛的应用.经典的相场模型由Cahn-Hilliard对具双阱位势的Ginzburg-Landau自由能二次泛函通过变分形式获得,主要表达形式为四阶Cahn-Hilliard方程与二阶 Allen-Cahn方程.在经典相场模型的数学推导过程中,粒子间的相互作用关系由空间卷积的形式表达.这是一个非局部的积分形式,主要用来描述粒子间长程力的作用结果,但是为了数学推导的方便,被简化成了整数阶微分算子进行处理.因此,借助于分数阶算子刻画粒子间的长程力作用,从而建立分数阶相场模型并对其进行有效的数值模拟是十分必要的.本学位论文旨在对分数阶相场模型构造高效Galerkin有限元数值模拟方法并对其建立严谨的数值分析理论,为实际的相场模拟提供理论与决策依据.主要内容分为两个部分:一、分数阶扩散方程的有限元方法与分数阶导数指数的辨识基于对相场模型中分数阶Laplace算子可视为一类特殊的分数阶扩散算子的认知,我们首先考虑了变系数分数阶扩散问题的有限元方法.同时,为适应现场试验中须明确分数阶指数的需要,我们对非稳态分数阶扩散方程构造了关于分数阶指数的有限元辨识算法.通过这两个内容的研究,深入了解对分数阶问题乃至非局部问题数值模拟的难点与关键技术,积累经验,以期更好的实现对分数阶相场问题的高效有限元数值模拟.（1）具变系数分数阶扩散方程的最小二乘混合元数值模拟.由于变系数的影响,直接对该问题建立的Galerkin变分形式不能保证其强制性,从而不能保证解的存在唯一性.对此,我们通过引入扩散通量作为中间变量,将原方程转化为由变系数一阶方程与常系数分数阶方程构成的方程组,并借助最小二乘的思想,构造了具唯一解的最小二乘混合变分形式,证明了一个新的关于解的正则性结论.进一步,构造了可分别求解未知函数、伴随扩散通量的最小二乘混合有限元格式,有效降低了计算量,并证明了格式解对真解以及伴随扩散通量具有最优逼近精度.数值实验验证了理论分析结论.（2）分数阶扩散方程指数辨识的有限元-Armijo算法.与二阶扩散方程相比较,我们仅仅知道分数阶指数存在于某一个区间,如区间（1,2）中,但在实际的数值模拟应用中,需要清晰地给出确定这个分数阶指数的有限元算法与严谨的数学理论支持.对此,我们基于傅里叶变换理论,证明分数阶Riemann-Liouville导数算子满足某种意义下的半群性质,且关于指数在L2范数意义下满足强左连续性和弱右连续性;进一步,将指数辨识问题归结为某一个凸泛函在L2范数意义的最优解问题,并利用已获得的半群性质以及分数阶扩散方程解关于指数一致有界等结论,证明了分数阶扩散方程的解集构成了某一 Sobolev空间的弱闭子集,并证明了极小泛函实际上是一个定义在这个弱闭子集上的弱下半连续泛函,此极小泛函在该弱闭子集上必获极小值,从而证明最优解的存在唯一性.基于上述分析,我们采用普通的有限元空间设计了分数阶指数辨识的有限元-Armijo算法,并提供相应的数值实验佐证方法的可靠性.二、分数阶相场问题的有限元数值模拟及其理论分析本部分重点讨论一维分数阶Cahn-Hilliard相场模型的有限元数值模拟,并将该方法推广到二维分数阶Allen-Cahn相场模型与二维分数阶Cahn-Hilliard相场模型.（1）一维分数阶Cahn-Hilliard方程的混合有限元数值模拟与理论分析.我们通过引入中间变量,将原问题转化为由两个分数阶Laplace算子表示的非线性系统,构造了与之等价的混合变分形式;对时间导数采用向后Euler格式离散,而对空间采用混合有限元进行离散,构造了相应的凸分裂-混合有限元格式;利用Brouwer’s不动点原理,证明了混合元格式解的存在唯一性,进一步证明了格式解保持原始问题的能量衰减律以及在新能量定义下的能量守恒性质;利用离散Ehrling不等式,证明了格式在能量模意义下的收敛性质.为降低由分数阶Laplace算子非局部性导致的有限元刚度矩阵非稀疏以及带来的计算困难,我们将刚度矩阵的Toeplitz块结构、快速傅里叶变换（FFT）与传统的双共轭梯度（BiCG）巧妙结合,构造了高效求解该类问题的快速双共轭梯度算法（FBiCG）,计算量由BiCG的O（M2）降低到O（M log M）数值实验也表明,本文中提出的凸分裂-混合元格式不仅具有良好的收敛精度与计算效率,而且保持了原始问题的能量衰减律、新能量下的守恒律,可清晰的刻画出物质各组分的粗化过程以及分数阶指数、扩散系数等参数对各组分界面发展的影响.（2）二维分数阶Allen-Cahn模型有限元方法与理论分析.我们在Galerkin框架下构造了相应的变分形式与有限元格式,证明格式的可解性、稳定性、能量定律与收敛性结论.数值算例验证了格式的收敛性、能量定律和各组分的粗化过程.（3）二维分数阶Cahn-Hilliard模型的有限元算法与实现.本章中,我们将第三章中关于一维问题的结论推广到二维问题,构造了凸分裂-混合元离散格式,证明格式解的存在唯一性、能量定律与收敛性.数值实验表明文中提出算法的有效性.有必要指出的是,与一维问题比较,对高维分数阶相场问题的计算难度显著增加,其最大困难在于刚度矩阵形成过程中的关于多重奇异积分的数值计算.