【摘 要】
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孤立子理论是应用数学和数学物理的重要内容之一,该理论广泛应用于非线性物理学、动力学、超导、量子场论、气象学、通讯等领域.然而,寻求非线性演化方程的精确解一直以来都
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孤立子理论是应用数学和数学物理的重要内容之一,该理论广泛应用于非线性物理学、动力学、超导、量子场论、气象学、通讯等领域.然而,寻求非线性演化方程的精确解一直以来都是一个很困难的问题.借助于Lax对,非线性方程的求解可以转化为线性方程的求解.迄今为止,延拓结构方法是成功构造非线性演化方程Lax对的方法之一.建立在Lax对基础上的Darbux变换是得到非线性演化方程精确解的有效方法之一.本文以非线性演化方程为研究对象,主要讨论了构造该类方程Lax对的方法-延拓结构法和求解方法-Darboux变换方法.主要工作如下：第一章对孤立子理论、可积系统、延拓结构理论、Darboux变换和Backlund变换理论产生的背景、前人的工作及研究方法做了简单的综述.第二章介绍了Lax对和Lax方程的定义,并利用延拓结构理论,构造了Boussinesq方程组和修正KdV方程组的Lax对.第三章构造了经典Boussinesq-Burgers系统、Boussinesq方程组的和复的KdV方程的Darboux变换,进一步得到了经典Boussinesq-Burgers系统的单孤子解和复的KdV方程的精确解.最后简单总结了全文,并给出了可以继续探讨的问题.
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