文献研究表明,关于样例学习中对于数学原理学习的研究已在如下几个方面进行。第一个方面,考查样例和测题的表面内容之间的异同对原理通达与应用的影响。这些异同包括样例与测题的呈现情景的相似、相反和不同;同时也包括样例和测题的题设条件里出现数字所对应的对象,这些对象被相应数据分成对象对应相反、相似和无关。第二个方面,考查对数学问题的解答方式对原理通达和原理应用的影响,解答方式可以设置为不同抽象程度的编码,也可以是一个图解,研究者考察了这些不同的解答方式对数学问题学习的影响。第三个方面,研究数学问题的内在结构(或数学模型),考察这个内在结构是以符号或形式化表达还是以非抽象数学关系(如图式图)出现,更有利于数学问题解决。　　 在总结分析前人相关研究成果基础上,结合我国数学教学的实践需要,本研究提出所研究的问题:在教学中最常用的数学公式呈现方式有多少种?在对数学公式的解答过程依据什么样的标准进行编码?这些解答编码在实际教学中是如何进行组织的?实际教学中数学公式的呈现方式与解答编码的匹配的选择将如何影响学习与迁移的效果?数学教育中的“数形结合”如何体现出来?　　 为了解决上述问题,本研究设计了预备研究与5个系列实验(共15个分实验),系统探讨了上述的问题。　　 在预备研究中,我们在总结分析前人研究与教学实践的基础上,提出了数学公式的五种呈现方式,以及数学公式推导过程中的三种解答编码方式,这些呈现方式与解答编码的匹配对公式学习的影响构成本论文的研究主题。　　 实验1探讨公式的符号呈现方式与解答编码的匹配对公式学习的影响,包括3个分实验。　　 实验1a分别探讨了公式符号呈现方式与三种编码匹配的学习效果。实验结果表明,在公式的符号呈现情况下,学生刚接触到公式时,图形编码的成绩最佳,但是,随着在学习过程中初步重复训练,示意编码表现出优势,示意编码的成绩明显上升,图形编码的成绩显著地下降且落至最后,结果是:示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩,这个结果表明教学中重复训练与示意编码相结合,使学生较快地掌握公式的算法程序。　　 实验1b进一步探讨在变式教学中公式符号呈现方式与三种编码匹配的学习效果。实验结果表明,在变式学习与测试情况下,仍然是:示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩,这个结果表明教师直接在公式教学中进行字母变式学习,则示意编码能使学生较快地掌握公式的算法程序。　　 实验1c,结合数学教学的实际需要进一步探讨,数学优秀学生对公式的符号呈现方式与不同解答编码匹配的学习效果。结果表明,数学优生在三种编码情况下学习效果差异不显著。因此,对数学优秀学生的教学法处理应更着重于数学材料所包含的逻辑结构的严谨性,而不在于解答编码的直观性。　　 实验2考查了几何情景呈现方式与三种编码匹配对公式学习的影响。由于几何呈现方式是目前中学数学教学中最常见的呈现方式,并且涉及到数学教学界关注的数形结合问题,因此,本实验设计了5个分实验对这个问题展开深入的探讨。　　 实验2a考查了几何情景呈现方式分别与三种解答编码匹配对公式学习的影响,实验结果表明,在公式的符号呈现情况下,学生刚接触到公式时,图形编码的成绩最佳,但是,随着在学习过程中的重复训练,还是示意编码表现出优势,结果是:示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩,这个结果表明,在几何情景呈现下,当教学中重复训练与示意编码相结合,同样能使学生较快地掌握公式的算法程序。　　 实验2b与实验1b的思路一样,探讨在变式教学中公式的几何情景呈现方式与三种编码匹配的学习效果。实验结果表明,在变式学习与测试情况下,仍然是:示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩,。　　 实验2b探讨的是在变式教学中公式的几何情景呈现方式与三种编码匹配在相同情景中的学习效果,而实验2c、实验2d则是进一步探讨几何情景呈现方式与三种编码匹配的跨情景的迁移效果。　　 实验2c考查几何情景呈现方式与三种编码匹配,对于解决现实情景呈现方式问题的跨情景迁移,旨在研究当学生学习的样例是几何情景与三种解答编码的匹配时,学生在解答由现实情景呈现的问题时的成绩。实验结果表明,示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩。　　 实验2d考查几何情景呈现方式与三种编码匹配,对于解决数学原理情景呈现方式问题的跨情景迁移,旨在研究当学生学习的样例是几何情景与三种解答编码的匹配时,学生在解答由数学原理情景呈现的问题时的成绩。实验结果同样是:示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩。　　 实验2e考查公式在几何情景呈现方式下,三种解答编码学习该公式算法程序时,图形对数学问题及解答编码的回忆作用,实验结果是,图形编码回忆成绩＞(优于)示意编码回忆成绩＞(优于)标签编码回忆成绩。　　 实验3考查数学原理情景呈现方式与三种解答编码相匹配时对公式学习的.影响。由于实验3中数学原理情景呈现方式的特殊性与抽象性,数学竞赛教科书中采取几何点阵来引导公式的算法程序,本研究依照竞赛数学中的做法用几何点阵构造图形编码。另外,数学原理情景在初中数学教材中并非进行公式学习的主流材料,因而本实验将不考查重复训练学习和跨情景迁移学习,只包含基本学习和同情景变式学习2个分实验。　　 实验3a考查公式的数学原理情景呈现方式分别与三种解答编码匹配对公式学习的影响。旨在研究当学生学习的样例是数学原理情景与三种解答编码的匹配,学生在解答由数学原理情景呈现的问题时的成绩。实验结果是:图形编码的成绩＞(优于)示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩。　　 实验3b与实验2b、实验1b的思路一样:考查了在公式的变式学习中数学原理情景呈现方式分别与三种解答编码匹配的学习效果。旨在研究当学生学习的样例是公式的数学原理情景呈现方式与三种解答编码匹配,学生解答问题同样为数学原理情景但字母变式学习的成绩。实验结果是,在变式学习与测试情况下,仍然是:示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩。　　 实验4考查了科学背景呈现方式与三种解答编码相匹配时对公式学习的影响。我们选择了科学原理的一种模型(逆水与顺流时的物理模型)作为样例,将其它的原理模型作为测题(路程=试速度×时间、工作量=工作效率×时间、利息=本金×利率)。另外,基于同样的道理,数学原理情景在初中数学教材中并非进行公式学习的主流材料,因而本实验将不考查重复训练学习和跨情景迁移学习,将只包含基本学习和同情景变式学习2个分实验。　　 实验4a考查公式的科学背景呈现方式分别与三种解答编码匹配对公式学习的影响。旨在研究当学生学习的样例是科学背景与三种解答编码的匹配,学生在解答由科学背景呈现的问题时的成绩。实验结果是:示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩。　　 实验4b与实验3b、实验2b、实验1b的思路一样:考查在公式的变式学习中科学背景呈现方式分别与三种解答编码匹配的学习效果。旨在研究当学生学习的样例是科学背景呈现方式与三种解答编码匹配,学生解答问题同样为科学背景但字母变式迁移的成绩。实验结果表明,在变式学习与测试情况下,仍然是:示意编码的成绩＞(优于)标签编码的成绩＞(优于)图形编码的成绩。　　 实验5考查公式的多种呈现方式与公式的多种解答编码的匹配对公式学习的影响。本实验根据中学数学教学实际,探讨公式的不同呈现方式与解答编码的不同组合相匹配对数学学习的影响;同时探讨公式呈现方式的不同组合与三种解答编码匹配对数学学习的影响。　　 实验5a考查公式的符号呈现方式与三种解答编码的两两组合相匹配对公式学习的影响。解答编码的两两组合是:1.“图形编码+示意编码”的组合；2.“图形编码+标签编码”的组合；3.“标签编码+示意编码”的组合。实验结果是:图形编码+示意编码＞(优于)标签编码+示意编码＞(优于)图形编码+标签编码。　　 实验5b考查公式的几何情景呈现方式与三种解答编码的两两组合相匹配对公式学习的影响。解答编码的两两组合是:1.“图形编码+示意编码”的组合；2.“图形编码+标签编码”的组合；3.“标签编码+示意编码"的组合。实验结果是:图形编码+示意编码＞(优于)标签编码+示意编码＞(优于)图形编码+标签编码。　　 实验5c考查公式的符号呈现与几何情景呈现的组合分别与三种解答编码相匹配对数学学习的影响。实际教学中,常常是先用几何情景呈现方式导入公式左边,再用符号呈现方式给出公式,然后用一种解答编码推导公式。本实验考查当学生学习的公式为符号呈现方式与几何情景呈现方式组合条件下,分别与三种解答编码相匹配对数学公式学习的影响。实验结果表明,在“符号呈现+几何情景”呈现的组合条件下,图形编码＞(优于)示意编码＞(优于)标签编码。　　 我们的研究结果比较好地证实和甄别了数学教育中传统做法中的一些不良的教学法处理,概括本研究的结论,第一,在公式原理的推导过程中,寻找该数学公式背后的模型背景,将公式的导出过程建立在有意义的联系之上,本论文中公式的推导过程中使用几何图形作为公式的背景,将算法与几何面积计算联系起来,而几何面积图式则是被试在小学就建立起来。第二,几何图形不仅仅作为代数公式的背景,也可以有效地加强公式的记忆。第三,在几何背景基础上学习代数公式,最终也是需要达到熟练公式的算法程序,因而,示意的、能揭示代数公式的算法程序的辅助图形对于教学非常有用,但是,若给代数公式做标识,以让学生记忆算法是效率最低的代数公式学习方式。第四,一题多解和多题一解时,即分别呈现符号呈现方式和几何情景呈现方式表述公式时,以及同时呈现这两种方式呈现数学公式时,用几何图形揭示算法原理的解答方法仍然最具优势。　　 本论文对数学教育教学最直接的启示是,当在原理公式新知识学习教学时,如果尽可能地采用具有背景知识,以与该背景知识的算法程序形成联系的方法推导公式原理,则教学效果将会达到较好的状态,如果是用几何图形作为背景知识,对于新知识学习的记忆最有利;如果要使学生熟练掌握公式原理,达到算法程序敏感程度,具有背景的、将新旧知识联系的解答编码往往有益于学生对公式的运算程序的熟练掌握,可以较快地在变式的情形下使用公式;所以在实际教学中就应将算法训练与较高认知水平的解答编码结合起来。　　 检验了中学数学公式教学中多年来若干惯常做法,更正了部分数学教师长期依赖经验形成的若干在数学公式教学中的错误认识,我们的实验结果对课堂教学实践有一定的指导意义和启示作用。　　 当然,本研究也明显地使我们感觉到公式原理教学的复杂性与困难性,也给我们未来进一步研究提出新的问题。