对流扩散方程和涡量流函数方程是流体力学中常用的两类方程,对流扩散方程还广泛应用于传热学、化学和环境科学等领域,涡量流函数方程在研究粘性不可压缩流体的流动时起着重要作用。在实际问题中由于求解区域和边界条件的复杂性,很难求得这两类方程的解析解,数值求解便成为一种重要的方法,因此构造高效和稳定的数值方法有着重要的应用价值。基于谱方法的思想和积分方程理论,本文提出了一种改进的谱方法,用于数值求解对流扩散方程和涡量流函数方程。在应用改进谱方法求解稳态对流扩散方程时,对第一类齐次边界条件,可通过变量代换消去对流项中的一阶导数项。然后引入关于格林函数的辅助边值问题,把格林函数和未知函数用正弦级数展开,并求得格林函数表达式。再根据格林函数的性质,把对流扩散方程化为积分方程。最后根据正弦级数的正交性,把含有空间变量和级数系数的积分方程简化为只含有级数系数的积分方程组,求解该方程组就能求得原方程的级数有限和形式的近似解。应用改进谱方法求解了一维、二维稳态对流扩散问题的算例,计算结果表明该方法与有限体积法和QUICK格式相比,有着更高的精度并且不需要网格划分。与积分方程法相比,在保证同样精度的前提下,简化了推导和编程流程。对于非稳态对流扩散问题,方程中不仅有空间变量,还出现了时间变量。可用和前面介绍的稳态情形一样的方法离散空间变量,把关于空间和时间变量的积分方程简化为只关于时间变量的积分方程组。用四阶龙格-库塔法求解这一积分方程组,得到用级数有限和形式表示的原问题的近似解。最后用一维、二维非稳态对流扩散问题的算例检验了改进的谱方法,讨论了 Peclet数、截断项数、时间步长、计算时间以及不同源项对计算误差的影响。对于非线性涡量流函数方程,先引入关于格林函数的辅助初边值问题,并用格林函数的性质将涡量流函数方程转化为积分方程。然后对于周期边界条件和第一类齐次边界条件下的未知函数和格林函数,分别用傅里叶级数和正弦级数展开。再利用级数的正交性将积分方程转化成只含时间变量的积分方程组,用四阶龙格-库塔法求解该方程组,得到原方程的级数有限和形式的近似解。最后用不同边界条件下的算例检验了改进谱方法,发现其计算结果和解析解吻合得很好。