论文部分内容阅读
爆破分析是偏微分方程和几何分析研究中的一个重要工具，在研究方程解的存在性，解序列的紧性及其相关性质上都有重要应用.本文主要研究几类偏微分方程的爆破分析，涉及到对应于各向异性N-Laplacian算子的Liouville方程-QNu=Veu和张力场属于Lp，p≥6/5的逼近H-surfaces方程.算子有界性在分析和方程先验估计中有很多重要的应用，本文最后讨论了非齐性度量测度空间上的多线性奇异积分交换子在多重Lebesgue空间上的有界性.具体而言，本文的主要结果如下. Ⅰ.-QNu=Veu的爆破分析 这部分的主要结果是关于方程-QNu=Veu解的先验估计和爆破分析. 定理0.1.设Ω是RN，N≥2中的有界区域且u是方程-QNu=f(x)当x∈Ω，u|(e)Ω=0.的弱解. 则对任意f∈L1(Ω)和任意δ∈（0，NN/N-1k1/N-1）=（0，βN），有∫Ωexp{(βN-δ)|u(x)|/‖f‖1/(N-1)L1(Ω)}dx≤βN/δ|Ω|. 定理0.2.设u和v分别是-QNu=f(x）＞0当x∈Ω和{-QNv=0当x∈Ω，v|(e)Ω=u，的弱解.则对任何δ∈（0，βN），有∫Ωexp{(βN-δ)d1/N-10(|u-v|)/‖f‖1/N-1L1(Ω)}≤|Ω|/δ,其中d0=inf{dX,Y:X,Y∈RN,X≠0,Y≠0,X≠y},dX,Y=＜FN-1(X)Fξ(X)-FN-1(Y)Fξ(Y)，X-Y＞/FN(X-Y). 定理0.3.设Ω是RN，N≥2中的有界区域并且{un}∞n=1是方程-QNun=Vn(x)eun当x∈Ω，的一列弱解,其中Vn(x)≥0，‖Vn‖Lq≤C1，1＜q≤∞且‖eun‖Lq≤C2.则通过选取子列仅出现下列情形中的一种情形: (i)un在L∞loc(Ω)中有界; (ii）在Ω的任何紧子集上un→-∞一致成立; (iii)S={p1，…，pm}是非空有限集且在ΩS的任何紧子集上un→-∞一致成立.且对于任何的i，在Ω上Vneun依测度收敛到∑mi=1αiδpi，αi≥（βN/q）N-1d0，其中爆破集S被定义为S:={x∈Ω:(3)xn∈Ω使得xn→x和un(xn)→+∞}. 定理0.4.设Ω是RN，N≥2中的有界区域且{un}∞n=1是方程-QNun=Vn(x)eun当x∈Ω，(1)满足条件∫Ωeun≤C的一列弱解.令(Vn)是一列Lipschitz连续函数满足Vn(x)≥0，Vn(x)在C0（(Ω)）上一致收敛到V,‖▽Vn‖L∞≤C.并且满足max(e)Ω(un)-min(e)Ω(un)≤C.如果仅有一个爆破点，则相应的爆破值α=（NN+1k1/N-1/N-1）1/N-1. Ⅱ.逼近H-surfaces的爆破分析 这部分的主要结果是张力场属于Lp，p≥6/5的逼近H-surfaces的能量等式和no neck性质. 定理0.5.假定{un}∞n=1(C) W1，2(B，R3)∩ L∞(B，R3)是一列逼近-surfaces△un=2H(un)un,x1∧un，x2+(Τ)（un），其中H(·)∈L∞(R3)，Τ（un）∈Lp(B)，p≥6/5,满足 (i)‖▽un‖L2(B)+‖H(un)‖L∞(R3)+‖(Τ)(un)‖LP(B)≤M＜∞, (ii)当n→∞时，un在W1，2(B{0}，R3)中强收敛到u. 那么存在[unn}的子列（仍然记为{un})和正整数L,使得对于任意的i=1，2，…，L,存在点列xin和rin以及非常数H-surfacesωi满足 (1)当n→∞，有xin→0和rin→0; (2)对任意的i≠j，有limn→∞（rin/rjn+rjn/rin+|xin-xjn|/rin+rjn）=∞; (3)ωi是un(xin+rinx)在W1,2loc（R2，R3）上的弱极限或强极限; (4)能量等式成立:lim n→∞ E(un,B)=E(u，B)+L∑i=1E（ωi，R2）; (5)no neck性质:像集u(B)∪Li=1ωi(R2)是连通的. Ⅲ.非齐性度量测度空间上的多线性奇异积分交换子 这部分主要考虑非齐性度量测度空间上的多线性奇异积分算子与RBMO(μ)函数生成的交换子在多重Lebesgue空间上的有界性. 定理0.6.假定μ是Radon测度满足‖μ‖=∞.令1＜p1，P2＜+∞，f1∈Lp1(μ)，f2∈Lp2(μ)和b1，b2∈RBMO(μ).若T是从L1(μ)×L1（μ）到L1/2，∞(μ)上的有界算子，则存在常数C＞0使得‖[b1,b2,T](f1，f2)‖Lq(μ)≤C‖f1‖Lp1(μ)‖f2‖Lp2（μ），其中1/q=1/p1+1/p2. 注记0.7.当‖μ‖＜∞，由第三章第二节的引理4.6知，若G分别取Iα,2，[b1，Iα，2]，[b2，Iα，1]和[b1，b2，Iα，2]时，都成立∫XG(f1，f2)(x)dμ(x)=0，则定理0.6仍然成立.