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广义逆矩阵的理论和方法不仅是许多数学分支的基本工具，而且在经济学、统计学、测量学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科中都有着广泛的应用。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，控制论和系统识别问题，网络问题等等中间，广义逆更是不可缺少的研究工具。另一方面，结合环的代数结构的研究方兴未艾，而环上矩阵的广义逆则是揭示环的代数结构的有力工具。近年来，随着广义逆的理论和计算问题研究的深入，广义逆矩阵领域遇到了一系列有待解决的理论问题。 本文，我们通过使用广义逆矩阵的表示理论和矩阵分解的方法研究解决了如下三类问题： 1．广义逆矩阵AT,S（2）的秩等式问题 广义逆矩阵的秩等式问题是广义逆理论中的一类重要问题，它在刻划与各种广义逆有关的等式时至关重要。而常见的广义逆，如M-P逆、加权M-P逆、Drazin逆、群逆、Bott-Duffin逆以及广义Bott-Duffin逆都是某种指定了值域和零空间的AT,S（2）逆。我们通过使用广义逆AT,S（2）的群逆表达式来研究广义逆矩阵的秩等式问题。获得了与一个矩阵A的广义逆AT,S（2）、两个矩阵A，B的广义逆AT,S（2），BT1,S1（2）以及分块矩阵M的广义逆MT,S（2）的子矩阵有关的秩等式。作为推论，我们获得了一系列与M-P逆、加权M-P逆、Drazin逆、群逆、Bott-Duffin逆以及广义Bott-Duffin逆有关的等式的刻画。 2．分块矩阵的广义逆中子块独立的问题 分块矩阵的广义逆中子块独立的问题已有许多作者研究，但也遗留了一些未解决的问题。我们通过使用六个矩阵的广义奇异值分解QQQQQ-SVD，证明了1998年发表在SIAM J.Matrix Anal.Appl上的一个猜测。 3．除环上矩阵的广义逆问题 除环上矩阵的广义逆对于揭示除环的代数结构以及研究四元数矩阵的广义逆都具有重要意义。我们使用矩阵分解的方法系统地研究了这一问题，建立了除环上矩阵广义逆的AT,S（2）理论，研究了除环上矩阵广义逆的反序问题以及除环上加边矩阵的广义逆的结构问题。四元数体上矩阵的广义逆可以作为特款给出。