过去三十年,得益于计算机技术的突破性进展和工业、医学诊断、航空航天等领域急剧增长的应用需求,图像处理技术得到了蓬勃的发展。这其中的一个典型代表是基于偏微分方程的图像处理方法。该类方法现已在图像去噪、图像分割、图像融合等方面取得了广泛的应用。本文利用椭圆型方程组和抛物型方程(组)对图像去噪和彩色图像压缩这两个图像处理基本问题建模,分析偏微分方程组解的适定性,并通过有限差分格式对其求解以验证其在图像处理中的有效性。论文首先研究具有源项耦合的椭圆型方程组及在去除图像Gauss噪声中的应用。该方程组由p(x)-Laplace方程和Poisson方程组成,其中p(x)-Laplace方程用于去除图像中的噪声,Poisson方程用于修正p(x)-Laplace方程的源项。在方程组变指数p(x)允许间断和噪声图像f(x)∈L1(?)的假设下,证明了当p->max{1,n/3}(p-:=infx∈?p(x),n是?的维数)时,齐次Neumann边值问题在非标准变指数Sobolev空间中存在唯一的弱解。由于方程组具有源项耦合,证明采用了“分而治之、各个击破”的策略,将方程组解耦成两个单独的子问题并利用Schauder不动点定理建立子问题和方程组的联系。解的存在性证明同时提供了一个数值上求解该方程组的迭代格式。实验结果表明,利用局部K-means算法构造的分片常值变指数具有比传统光滑变指数更好的图像去噪效果。其次提出一个基于线性退化反应-扩散方程组的彩色图像压缩模型。在已知彩色图像的亮度分量和彩色图像中一些代表像素点的假设下,通过引入亮度分量和彩色图像的关系,提出一类具有Perona–Malik型扩散系数的线性反应-扩散方程组重构原始彩色图像。该扩散系数保证重构出的彩色图像具有和亮度分量相似的结构信息。但它同时导致方程组是退化的,使之不存在古典解。我们通过近似手段证明在一类特殊的扩散系数下方程组在加权Sobolev空间中存在唯一的弱解。以上的图像彩色化思想构成了本章的彩色图像压缩模型。也就是说,在压缩阶段,只存储彩色图像的亮度分量(用现有的方法压缩)和从彩色图像中抽取出来的一些代表像素点;在解压缩阶段,利用存储的信息通过提出的反应-扩散方程组重构原始彩色图像。论文同时提出一个局部最优算法选取代表像素点集合。它将原始彩色图像分裂成一系列不同大小的子图,用遍历的手段分别在各个子图中选取最优的代表像素点,由各个子图的最优代表像素点组成原图的代表像素点集合。通过数值实验,我们将提出的方法与最新的彩色化图像压缩方法对比,同时也与传统的JPEG和JPEG 2000图像压缩标准对比,以验证新模型在彩色图像压缩上的潜力。论文最后提出一类非散度型扩散方程去除图像中的脉冲噪声。由于脉冲噪声的特性,该类噪声只随机污染图像中的一部分像素点。现有基于偏微分方程的方法无法在有效去除噪声的同时保持未被噪声污染的像素点灰度值不变。我们通过在扩散方程中引入脉冲噪声探测器的概念克服该问题。在新的非散度型方程中,脉冲噪声探测器保证在扩散的过程中未被污染的像素点灰度值不变,正则化Perona–Malik算子具有快速去除图像中脉冲噪声的作用。该方程在数值上表现出的渐近性使得我们避免了在有限差分格式中选择迭代停止时间的问题,同时使得我们可以方便地将该方程拓展到去除图像中脉冲噪声和Gauss噪声混合噪声的问题。数值实验表明,新方程相对于最新的中值型滤波和基于变分/偏微分方程的方法在去噪效果上具有明显的提升。