通常情况下,图像是复杂的,包含非常丰富的局部结构特征,如曲线边缘、直线边缘、精致纹理、角点、斜坡区域和平坦区域等,在图像降噪的过程中,保持这些复杂、丰富且极其重要的结构特征是至关重要的。要保持这些各种各样的结构特征,在图像去噪时就要用不同的微分几何量来进行区分和表征,建立对不同结构特征保持的合适的数学模型。分数阶微积分理论在图像处理中所呈现出的特性是整数阶微积分方法难以比拟的。本文以富含复杂结构特征图像为对象,研究变分与非线性扩散方程图像降噪的方法与模型,利用分数阶微积分、微分几何方法等理论,探索图像不同结构特征的不同表征方法,并在此基础上利用变分法等方法提出新的变分与非线性扩散方程图像降噪框架。新的理论框架拓宽和丰富了变分与非线性扩散方程方法在图像处理中的应用,可以进一步推广到深层次的后续图像处理领域,具有理论意义和应用前景。本文的主要工作及贡献包括以下几个方面:(1)基于频域定义中的分数阶导数和分数阶扩散因子,提出了分数阶各向异性扩散的自适应P-Laplace方程的图像去噪模型。由于仅依靠图像梯度(一阶微分几何量)来表征图像复杂的结构特征是不够的,本文将含有更丰富信息的曲率(二阶微分几何量)加入到扩散因子中,并将扩散因子推广到分数阶,得到的分数阶的扩散因子可以根据分数阶梯度与分数阶等照度线的曲率自适应地改变,自适应地控制扩散强度和扩散方向。数值实验结果表明,所提出的模型能有效地提高去噪能力,并能很好地保持重要的局部特征,特别是弯曲程度较大的边缘、小尺度纹理细节和坡度结构,也能有效地权衡“阶梯效应”与“斑点效应”,使处理后的图像看上去更自然。(2)基于空域中的Grümwald-Letnikov分数阶导数与平均曲率,提出了分数阶平均曲率驱动分数阶电报扩散方程的图像去噪模型,并在理论上证明了所提出模型的解的存在唯一性。首先将分数阶微分引入电报扩散方程,形成二阶电报扩散方程与四阶电报扩散方程的一个自然插值;然后把能表征更多图像局部结构信息的平均曲率推广到分数阶,和整数阶的平均曲率相比,分数阶的平均曲率的使用除能有效地保持图像弯曲边缘、角点和对比度外,还能很好保护小尺度、弯曲程度更大的图像结构;然后把得到的分数阶平均曲率作为传导项;同时将Laplacian核做为控制函数,Laplacian核函数在高频区域的扩散速度是介于两个常用PM模型的控制函数的速度之间,而在平坦区域的扩散速度是小于这两个常用PM模型的控制函数的速度,这样得到新的扩散系数去控制新的分数阶电报扩散过程。数值实验表明,该模型具有显著的降噪能力,能有效地保持图像弯曲边缘、角点和对比度,同时也克服了阶梯效应和斑点效应,尤其对富含纹理和具有较大弯曲度结构特征的图像,具有很好地保持效果。(3)针对基于梯度作为图像边缘指示算子不能很好地区分图像边缘与斜坡、基于平均曲率作为图像边缘指示算子不能很好地区分开图像边缘和孤立噪声、基于高斯曲率作为图像边缘指示算子在噪声尺度比较大时,去噪效果较差等问题,本文提出了新的边缘指示算子差分曲率,其能更好地刻画图像,在有效地去除噪声的同时能从图像的平坦和斜坡区域区分开图像的边缘。基于差分曲率与频域上的分数阶导数,分别构建了基于差分曲率的分数阶非线性扩散与分数阶的自适应全变分的两类图像降噪模型。首先,建立了基于差分曲率驱动的分数阶非线性扩散的图像结构保持型降噪模型。将频域中定义的分数阶导数引入各向异性扩散方程,形成pm方程与四阶各向异性扩散方程的一个自然插值;把差分曲率作为传导项,laplacian核作为控制函数。laplacian核函数比两个常用pm模型的控制函数能更好地保留图像边缘(见(2)中的论述)。数值实验表明,该模型在有效提高峰值信噪比的同时得到了好的视觉效果,有效地区分图像边缘与斜坡区域,克服了阶梯效应和斑点效应。其次,建立了基于差分曲率的分数阶自适应的全变分图像去噪模型。提出一种差分曲率函数作为具有自适应扩散特征的变动指数的正则项;另一种差分曲率函数当作调节正则项和保真项的正则参数。在图像边缘处,正则项中变动指数的自适应选择可以较好地保持图像的边缘;在图像斜坡和平坦区域,同时对孤立噪声,正则项中分数阶全变分能很好地去除噪声,并有效抑制阶梯效应;在小尺度纹理处,分数阶导数和自适应的正则参数的使用可以对其较好地保持。实验结果表明,该模型能很好保护边缘和斜坡区域,同时也能很好地增强图像细节。(4)为了更好地刻画图像中重要的视觉几何结构,建立了一种基于分数阶结构张量的分数阶电报扩散的图像降噪模型,并在理论上证明了所提出模型的解的存在唯一性。分数阶张量扩散,既继承了分数阶微积分的特性,又因结构张量的特性可以获取更多额外的图像结构信息,因此,其能更加精细地区分图像的流状结构、角区域、t形结构(结构具有不同的方向)等图像重要信息,也能更好地处理弱结构、小尺度以及具有分形性质的结构。分数阶电报扩散方程的提出,形成了二阶电报扩散方程与四阶电报扩散方程的一个自然插值,其可以看着是阻尼波动方程,在图像边缘保持方面,优于其它的扩散方程,且能有效地权衡阶梯效应和斑点效应。用分数阶结构张量取代一般的标量扩散函数或整数阶的结构张量能得到真正意义上的各向异性扩散或能更好地处理灰度变化不明显的复杂分形纹理。数值实验表明,该模型具有显著的降噪能力,同时在结构特征保持和增强具有很好地效果。