未知数的个数大于方程的个数,且取整数值的一类方程,叫做不定方程.它是数论中历史最悠久的一个分支,它的研究成果不仅在数学的各个分支中起着重要的作用,而且在非数学学科中也有很多的应用价值.本文主要利用初等数论的方法研究几类特殊的不定方程,并给出其所有正整数解.1.研究了八元一次不定方程的整数解求解公式及其解数问题,利用初等数论的方法构造出两个四元一次不定方程和一个二元一次不定方程,通过求解给出方程的通解公式及其解数.2.讨论不定方程x3±8 = 2pqy2的解,利用初等数论的方法证明了p,q为奇数且P≡1(mod24)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p/q)=-1 时,(1):当 3∣(2n + 1)时,不定方程x3+8 = 2pqy2仅有整数解(x,y)=(-2,0).(2)不定方程x3-8 = 2pqy2无适合gcd(x,y)=1的正整数解.3.讨论不定方程x3+73 = 14y2的解,利用初等数论的方法证明了此方程仅有正整数解(x,y)=(7,7)和(x,y)=(161,546).4.研究了商高数的Jesmanowicz猜想的整数解问题.利用初等数论的方法,获得了该猜想的两个新结果并给出证明,推广了文献[51-55]的结果.5.研究了指数不定方程(4k)x+by=(b+4k)z的解,利用初等数论的方法以及指数不定方程的已知结果和Pell方程Stormer定理的推广,证明了方程(4k)x+by =(b+4k)z 仅有正整数解(x,z)=(1,1,1),推广了文献[61]的结果.最后,总结文中关于不定方程以及特殊形式的不定方程的可解性,提出可以进一步改进的地方.