经典的Taylor-Goldstein方程可以被拓展到考虑背景湍流效应的影响,使其适用于大气和海洋中普遍存在的湍动层化剪切流动的不稳定分析,由此建立的粘性Taylor-Goldstein方程（简称v-TG方程）更具普适性。v-TG方程描述的是高阶特征值问题,当结合适当的边界条件时,可以由有限差分法和谱方法进行数值求解。本文详细地比较了不同阶有限差分法、Chebyshev配点法和Fourier-Galerkin谱方法在求解v-TG方程中的表现,同时鉴于剪切不稳定常发生于强剪切层中,我们发展了一种自适应于剪切剖面的可变网格,以提高有限差分法在低网格分辨率下的求解精度。随后,本文将v-TG方程及其相应的数值算法应用于大气和海洋中,分析流体运动的稳定性,揭示了树冠波和湍动陆架海区的剪切不稳定特征。不同算法的对比分析表明,整体而言谱方法相比于传统有限差分法拥有更高的收敛性,随着网格点数的增加,谱方法的数值精度以指数的形式收敛,而有限差分法则收敛于各自的求导精度。但在低网格分辨率下,谱方法相比于有限差分法并无明显的优势,反而基于剪切的可变网格可以极大地提高有限差分法对v-TG方程的求解精度,通常高阶有限差分法所需的网格密化程度要小于低阶有限差分法。将变网格有限差分法应用于各种简单流动和实际海洋流动的稳定性分析表明,网格密化度为0.5的四阶有限差分法是低网格分辨率下求解v-TG方程的最优算法。对大气中树冠波的分析结果表明,v-TG方程能够很好的预测树冠波的传播方向,预测值贴近实测值,而对相速度、波长和周期等的预测要低于实测值15%～35%左右。从波矢量空间的分析结果可以看出,这是因为在树冠波的传播方向上存在多个不稳定模态,REAL雷达观测到的不稳定波并不一定是该方向上最快增长模态所对应的扰动波。此外,实测值与观测值间的差异也可能源于分析中对树冠波拖曳系数、叶面积密度函数和树冠区背景湍流强度的假设,目前这些参数的选取仍具有很大的经验性。对克莱德海的分析结果表明,该潮驱陆架海在观测期间处于临界或不稳定状态。我们选取其中的两个不稳定时刻H8和H15,由v-TG方程分析了该海区的剪切不稳定特征。在H8时刻,流速剪切的垂向结构较为简单,强剪切主要位于边界层和邻近边界层的范围内,这些区域虽然流速剪切较强,但发生于边界层内的强混合抑制了绝大多数的不稳定过程,只有少数模态发展成了不稳定模态,我们由v-TG方程成功地预测了其中最不稳定模态的生成与发展,获得了其不稳定增长率和扰动波长等信息,同时我们验证了基于实测剪切剖面所发展的可变网格在该海区的适用性;H15时刻,多个强剪切层中的梯度理查森数小于0.25为剪切不稳定的生成创造了条件,由v-TG方程对所有可能发生的不稳定模态进行统计分析,我们发现了 8个模态族,每个模态族都拥有各自最快的增长模态和垂向模态结构,代表着不同的物理过程。