熵幂凹性与位移凸性是信息论与最优传输中两个基本的概念,近年来在随机分析与几何分析中也有很重要的发展,并且与泛函几何不等式有紧密的联系.本文主要研究黎曼流形上与非线性扩散相关的熵幂凹性和位移凸性问题.具体来说,本文的主要内容分为以下五个部分:第一章介绍了熵幂凹性和位移凸性的研究背景及其进展,并给出了本文的研究内容和主要结论.第二章主要研究了p-熵幂沿着p-热方程的解的凹性,给出了它在欧式空间上的三个应用:推广熵的等周不等式、证明Lp-Nash不等式、证明和改进Lp-对数Sobolev不等式.第三章将p-熵幂凹性推广到了具有Bakry-Emery Ricci曲率维数条件的加权黎曼流形上.第四章研究对数p-熵泛函沿着加权p-热方程的解的单调性,给出了对数p-熵泛函单调递减公式,建立了其与熵幂凹性的联系.第五章研究一般熵泛函沿着广义测地线方程的解的凸性,给出了广义McCann条件下一般熵泛函的位移凸性及其应用,得到了其与熵幂凹性的联系.