随着信息及科学技术的迅速发展,作为人工智能新分支的计算机符号计算被广泛的应用于科学研究的各类分支中,它已经成为现代科学研究的重要辅助工具。非线性科学作为当前的前沿科学研究领域,引起了一定的关注。而孤子理论是非线性科学中的三大主要分支之一。本文主要是运用计算机符号计算及Darboux变换等方法研究某些具有物理背景的非线性发展方程的可积性质、解析解及物理应用,并得到一些代数算法使其可以在计算机系统上实现。研究的方程类型主要有变系数、耦合、高维及高阶的非线性发展方程。本论文的主要工作为：(一)在各种实际的物理背景下,由于变化的系数能够较好的反映出介质的非均匀性和边界的不一致性,所以,变系数方程往往比对应的常系数方程更具有实用性。为了能够描述真实环境中各种复杂的非线性波包现象,一些带有时间和空间参数的变系数方程在不同的物理背景下被提出。本文研究的是变系数Gross-Pitaevskii (GP)方程。由于与物理及科技的某些基础方面相关联,Bose-Einstein凝聚是当前的热点问题之一。Bose-Einstein凝聚的某些机制,比如说被界定在圆柱式对称抛物线形状的雪茄状凝聚,是由GP方程来描述。本文通过Painleve分析方法和计算机符号计算,得到了变系数GP方程的可积条件；该方程的Lax对由Ablowitz-Kaup-Newell-Segur (AKNS)方法直接求得；基于所得到的Lax对给出方程的自-Backlund变换,并由此得出单孤子解；一些解析解由ansatz方法给出；并得到了无穷守恒率。以上这些结果对低维凝聚的研究会有一定的指导作用。(二)最近,人们对(2+1)维的非线性发展方程在孤子理论和数学物理等方面的应用产生了研究兴趣。由于维数的限制,单纯的(1+[)维方程很难描述人们所观察到的一些现象,而(2+1)维的非线性发展方程,作为空间维数得以推广的方程,能够更加真实地反映某些非线性现象的物理机制,并且这些方程具有比一维方程更加复杂的性质。(?)adomtsev-Petviashvili(KP)方程是一个(2+1)维的非线性发展方程,它是一个可积模型,其应用涉及Bose-Einstein凝聚、等离子体物理和非线性光学等等。在本文中我们研究的是耦合的(2+1)维KP方程,已经有文献揭示了这个方程可分解为耦合的Korteweg-de Vries方程和标准的KP方程,并且可以将该耦合(2+1)维KP方程分解成AKNS系统的前两个方程。我们在这个分解的基础上,求出了约化方程的三种Darboux变换；通过求出的Darboux变换的迭代过程求出约化方程的单、双和三孤子解,并通过约化方程和原方程的联系式求出原方程的多孤子解；最后画图分析孤子解的物理机制。在随机矩阵理论中产生的耦合的(2+1)维KP方程是当前的研究热点,以上这些结果对随机矩阵理论的研究具有一定的指导借鉴价值。(三)本文通过Darboux变换方法和计算机符号计算研究Kundu-Eckhaus (KE)方程及变系数KE方程。KE方程可以描述在光纤通信中的超短飞秒脉冲的传播,并且在量子场论、弱非线性色散物质波和非线性光学中都有应用。变系数KE方程是KE方程的推广,与KE方程相比具有更多的自由参数,因此可以期待其在现实生活中有相对广泛的应用。我们利用Darboux变换方法研究了KE方程的多孤子解。分析了孤子解的振幅、宽度、初始相位及能量等物理量。利用渐进分析方法对双孤子碰撞前后的机制进行分析,得出弹性碰撞的结论,并得到了三孤子碰撞特点。并且我们利用画图分析孤子碰撞机制：(ⅰ)迎面和追赶的弹性双孤子碰撞；(ⅱ)周期的吸引和排斥的束缚的双孤子碰撞；(ⅲ)两种类型的三孤子动态性质：三个孤子碰撞在一点,碰撞之后除了轻微的相移之外保持形状不变：两个孤子保持束缚状态与另外一个孤子碰撞,碰撞之后保持形状不变。通过对KE方程的推广给出了变系数KE方程的Lax对及Darboux变换,并得出单、双和三孤子解,并将渐进分析方法应用到双孤子分析。为了讨论孤子解的传播特征,画出了变系数KE方程的孤子图：(ⅰ)对于单孤子解来说,通过选取不同的非线性色散项前的系数,我们得到不同的孤子结构：当取非线性色散项前面系数为常数时,孤子以不变的能量、振幅和速度传播；当取非线性色散项前面系数为非常数时,我们给出了五种带有变化的速度的孤子结构；(ⅱ)分析了双孤子中的迎面孤子碰撞、追赶孤子碰撞、抛物线型孤子、周期振荡孤子和束缚孤子；(ⅲ)呈现了三孤子的四种不同的动态特征：三个孤子碰撞在一点,除了在碰撞前后的轻微的相移外保持它们的形状不变；两个孤子保持束缚状态而与另外一个孤子碰撞之后仍保持形状不变；三抛物线型孤子；一个抛物线型孤子和两个束缚状态孤子的碰撞。(四)本文通过Darboux变换和计算机符号计算研究耦合高阶Schrodinger方程,该方程来源于双核非线性光学纤维和波导,描述五阶非线性项对超短光脉冲在非-Kerr介质中传播的影响。我们得到了方程的Lax对,并构建了相应的Darboux变换。在所得的Darboux变换的基础上方程的单、双和三孤子解以模的形式给出。孤子特征通过图像讨论：(ⅰ)双孤子的迎面和追赶弹性碰撞；(ⅱ)双孤子的周期性的吸引和排斥的束缚状态；(ⅲ)三孤子的能量交换碰撞。最后给出这个方程的拓展方程的无穷守恒律。