表示论是数学领域中的一个重要分支.为了研究一些抽象的代数结构及其上面的模,表示论的主要思想是先把该代数结构中的元素表示成为向量空间之间的线性变换,然后通过研究这些线性变换来研究代数结构本身.本文主要利用箭图的方法来研究解决代数表示理论中的若干问题.同时,我们还研究了代数表示理论和丛代数理论的某些结合部分,即倾斜理论和丛倾斜理论对应的箭图之间的关系.本文的主要结果分为五个部分.在简要的回顾和预备知识介绍后,首先,在第3章我们根据倾斜理论和从倾斜理论之间内在的联系,探讨了一个图何时既是一个遗传代数的倾斜图又是另一个遗传代数的丛倾斜图.我们回顾了遗传代数倾斜图和丛倾斜图的定义,并说明了对于同一个遗传代数,其倾斜图一定是其丛倾斜图的子图.接着证明了这一部分的主要结果,即一个图既是一个遗传代数的倾斜图又是另一个遗传代数的丛倾斜图的充要条件是这个图是一类特殊的多面体-Stasheff多面体的骨架图.对此我们给出了两种不同的证明,第一种是纯代数的,第二种更加侧重于几何和组合.在第一部分的最后,我们进一步考虑了倾斜理论和丛倾斜理论的一致性,并且用其单纯复形的例子说明这种一致性并不一定总是可以实现的.其次,由于在霍普夫代数的表示理论和量子群中,如何计算出一个霍普夫代数的表示环,即刻画其表示的张量积以及详细写出两个不可分解表示的张量积的直和分解是一个重要的课题,因此在第4章我们详细计算出了一类特殊的代数-Nakayama截断代数的表示环,虽然其定义和计算过程与文章[15],[49]很相似,但是我们发现其余代数结构是不一样的,因此,我们首先给出了其余代数结构的具体表达.同时,在计算的过程中,我们引入了帕斯卡三角的新工具,并且用一个实际的结果说明我们的结论与文章[15],[49]的结论的确是不一样的.在我们精确的用多项式环的商环来表示Nakayama截断代数的表示环的同时,我们还考虑了下面问题,两个不同的Nakayama截断代数的表示环是否可能是同构的?为了解决这个问题,我们用到了代数几何中的簇,根理想和齐次坐标环的概念,并对这一问题得到了初步的结果.接着,在第5章我们把第4章中的表示环理论进行了推广,我们把Hopf代数的模范畴对应的表示环推广到了更一般的monoidal范畴对应的Green环.这一推广不仅包括了模范畴对应的表示环,还包括了其复形范畴和导出范畴分别对应的平移环和导出环.因此,在这一部分我们首先给出了一般的monoidal范畴对应的Green环的定义.接着我们得到了模范畴的复形范畴和导出范畴分别对应的平移环和导出环的多项式刻画.最后我们对于第二部分考虑的代数--Nakayama截断代数,详细计算了其复形范畴的平移环,并得到了其导出范畴的导出环的部分结果.在第6章,我们用代数表示论中著名的Auslander-Reiten箭图的组合性质证明了如下结果：对于一个遗传代数,其上面的某个模是可分倾斜模当且仅当由这个模生成的最小加法子范畴是该代数的模范畴的一个切片.作为该结果的一个应用,我们考虑了可分倾斜模在所有倾斜模中的比重,并证明了对于某一类特殊的代数,其比重可以任意小,即无限趋近于零.最后在第7章,我们给出了最近正在逐步完善的工作,即丛子代数的概念.首先我们回顾了Fomin和Zelevinsky对于全正矩阵与丛代数之间的对应关系,并介绍了其运用的工具-平面网格图和双线图.接着,我们得到了这一部分的第一个结果,给出了矩阵乘法半群的比较小的一类生成元-广义初等Jacobi矩阵.最后,把全正矩阵与丛代数之间的对应关系推广到具有某种”正性质”的矩阵类上面,在这里我们主要考虑的是正定矩阵,并且提出了丛子代数的概念,建立了正定矩阵与丛子代数之间的联系.