论文部分内容阅读
金融风险理论是当今精算界研究的热门课题.风险理论作为精算数学的一部分，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率等问题.关于大偏差的研究成了一个热点.它出现在大索赔额的金融保险问题中，已经受到了越来越多的数学及金融界工作者的关注.关于大偏差问题的论文在各种风险模型及各种重轻尾分布族中已经得到了许多好的结果.本文在这些已有的结果上进行了推广，得到了一些新成果.根据内容本文分为下列三章：
第一章：D族的大偏差不等式；
第二章：S(γ)族中的大偏差问题；
第三章：带干扰的双险种风险模型下的大偏差问题；
本文第一章，在大偏差问题中，重点是研究重尾随机变量之和的大偏差.以往的文章在两个假设的基础上研究大偏差问题.Ng和Tang等人在文献[2]将两个假设弱化成一个.并在此条件上讨论并得到了重尾子族D族中的几个大偏差不等式.首先给出关于过程{N(t)，t≥0}满足的两个假设
假设N1：N(t)/λ(t)→p1，λ(t)→∞.假设N2：存在小的正数ε和δ，使得∑n＞(1+δ)λ(t)P(N(t)＞n)(1+ε)n=o(1),λ(t)→∞.并且把两个假设弱化为一个，给出假设B假设B：对于某个p＞γF，对固定的δ＞0，有下式成立ENp(t)I(N(t)＞(1+δ)λ(t))=o(λ(t)).本章在假设B的条件下讨论D族中关于Sn，S(t)及Sτ的大偏差问题，并得到以下定理.
定理1.2.1若F∈D，则对任意的γ＞μ，存在常数C(γ)＞0和D(γ)＞0，使得C(γ)nF(x)≤P(Sn-nμ＞x)≤D(γ)nP(x)对所有的n≥1及所有的x≥(γ-μ)n成立.
定理1.2.2若F∈D，则存在常数C(γ)＞0和D(γ)＞0，使得C(γ)λ(t)F(x)≤P(S(t)-μ(t)＞x)≤D(γ)λ(t)F(x),对所有的n≥1及所有的x≥(γ-μ)λ(t)成立.
定理1.2.3如果F∈()∩D，并且τ满足P(τ＞x)=o(F(x)).则P(Sτ-ESτ＞x)～EτF(x),x→∞.
在第二章中，仍然是在满足两个假设N1与N2的条件下得出以下结论.定理2.2.1若F∈S(γ)，则对任意的γ＞μ有P(Sn-ESn＞x)～nf(-γ)n-1e-γnμF(x),x→∞.
定理2.2.2若F∈S(γ)，且N(t)满足假设1和假设2，则有P(S(t)-ES(t)＞x)～λ(t)e-γλ(t)μf(-γ)λ(t)F(x),λ(t)→∞.对每个固定的γ＞0，对x≥γλ(t)一致成立.
定理2.2.3若F∈S(γ)，τ为一非负整值随机变量，具有有限期望Eτ，且与(Xn)n≥1独立.若存在ε＞0使得E[(f(-γ)+ε)τ]＜∞，那么P(Sτ-ESτ＞x)～e-γμEτE[τf(-γ)τ-1]F(x),x→∞.
[注1]：当γ=0时，所得结果与文献[9]中定理1相同.在第三章中，得到了带干扰的双险种风险模型下F∈εRV时的两个大偏差结果.
定理3.2.1对于带干扰的GGCPRM，若F∈εRV(-α，-β)，那么P(S(t)-ES(t)＞x)～λtF(x).对固定的γ＞0对x≥γλt一致成立.
定理3.2.2对于带干扰的GGCPRM，定义破产时刻τ(u):=inf{t;S(t)≥u}.若F∈εRV(-α，-β)，其中1＜α≤β＜∞，那么(1)对所有的x＞0和y＞0，有下式成立.limu→∞inf1/logulogP(τ(u)≤yux)≥x-βmax{1,x};(2)对于x=1和0＜y＜1/λEX1或者0＜x＜1和y＞0，有下式成立.limu→∞sup1/logulogP(τ(u)≤yux)≤x-α.