近些年,小波分析在理论上发展迅速,内容不断深入;应用方面非常广泛,范围不断扩展.事实上,小波应用时涉及到的数据可能会在各种光滑流形上,例如,在地球与空间科学（地理遥感图像,洋流运动等）中相关数据可能在某些球面上,在工程方面对某些管道的设计中,光学中镜面反射数据可能在双叶双曲面,抛物面,锥面上等旋转曲面上;或者某些可能是在李群或多种抽象流形上.所以,研究流形上的小波,不管是整体的还是局部的,都是有意义的.李理论作为嵌入在时空信号中的可观测运动学的数学基础.J.P.Leduc利用变换群和表示理论研究了连续时空小波变换.连续时空小波的应用非常广泛,例如,导弹弹头探测和跟踪;在地球物理领域分析洋流中的多尺度现象等.这些说明了流形上小波在运动分析、检测、跟踪和选择性重构中的应用.基于运动群的酉表示与不确定性原理的极小元,人们提出了一族4维随机小波的实例.在此基础上,本文的研究内容安排如下:第2章,研究了非零常高斯曲率的光滑曲面上的小波分析.首先,利用高斯映射和球面上的保面积投影,给出了光滑曲面到平面的一般保面积投影.然后利用一般保面积投影、伸缩算子和平移算子讨论了高斯曲率为非零的光滑曲面M上的连续小波变换及其逆变换.进一步,根据光滑曲面的多分辨率分析,系统地研究了离散小波变换及其相关性质,包括小波函数的两尺度方程、正交性等.最后给出两个数值例子.（已发表于International Journal of Wavelets,Multiresolution and Information Processing）第3章,讨论了回归曲线上小波变换并且给出了在金融数据中的应用算例.首先,利用保长投影研究了回归曲线上小波滤波器的性质以及两尺度细分方程.然后,推导回归曲线上分解重构算法.最后,给出了两个金融数据的应用算例.（已发表于International Journal of Wavelets,Multiresolution and Information Processing）第4章,研究了广义典型流形M上连续小波变换的定义.进一步讨论了广义典型流形M上小波变换的性质,给出了连续小波的卷积公式.最后,考虑n维空间的运动群,利用该群的酉表示,得到了不确定性原理的极小元,且得到的极小元满足小波可容许条件,其中的参数可定义在概率空间中,得到含随机变量的小波函数.最后,给出了随机小波的算例加以说明.（部分内容已发表于纯粹数学与应用数学）第5章,利用小波去噪方法,我们提出了生成正态随机数的新算法.与matlab中randn函数所生成的标准正态随机数,做了比较研究.探索了不同的小波去噪规则,小波不同分解层数对随机数均值方差的影响.进一步,探索了高维随机数生成的方法.然后,我们提出了小波蒙特卡罗方法（WMC）来计算数值积分.最后,给出了金融模型的仿真案例.（已被Computational Statistics录用）。第6章,研究了多小波去卷积密度估计,分别给出了线性多小波展开式与非线性多小波展开式;进一步,讨论了多小波去卷积密度估计量的无偏性与渐进正态性.