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设(M，T)是一个带有光滑对合T的光滑闭流形，T在M上的不动点集为F={x｜T(x)=x，x∈M}，那么F为M的闭子流形的不交并.当F=P(6，2n+1)，n为奇数时，我们证明了(M，T)协边于零。
设Mn是n维光滑闭流形，φ：(Z2)k×Mn→Mn是它上的光滑作用，其中(Z2)k={T1，T2，…，Tk｜T2j=1，TjTi=TiTj}，那么Mn的不动点集F是有限多个闭子流形的不交并.我们称F有常余维数r，如果F的每个分支都有常维数n-r。令MOn表示n维未定向上协边群，Jrn，k是未定向n维上协边类αn构成的集合，满足性质：存在αn的一个代表元Mn以及它上的(Z2)k作用，使得F有常余维数r.未定向上协边环MO*=∑n≥0 MOn，Jr*，k=∑n≥rJrn，k为MO*的理想。本文中我们决定了MO*的理想J2k*，k+15。