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谱与tilings分别在分析和几何中起着非常重要的作用，它们之间的关系引发了很多猜想，例如Fuglede谱集猜想，Jorgensen和Pedersen的猜想等.Lagarias，Reeds以及Wang用有关谱与tilings的结果结合Keller法则证明了Jorgensen和Pedersen的猜想.后来Iosevich和Pedersen以及Kolountzakis分别用不同的方法证明了这个猜想.前期研究工作的一个共同目标是弄清楚谱与tilings的关系，本文在已有的研究成果的基础上继续研究谱与tilings，并用简便的方法证明有关谱与tilings的一些性质，并且可以用这种方法证明一些已知的结论.最后本文也介绍了有关周期集的一些性质.