地质曲面重构是三维地质构造建模的重要基础,在地质矿产资源勘探等领域有着重要的应用。常用的地质曲面重构方法主要分为插值法和拟合法,包括三角剖分法、克里金插值法、加权最小二乘拟合法等。然而,由于地质条件的特殊性,地质勘探数据比较稀疏,分布不均匀,且包含大量的地质断层,包括正断层、垂直断层和逆断层等,上述方法在重构复杂地质曲面方面具有一定的局限性。基于此,本文对计算几何中的几何偏微分方程曲面造型方法在复杂地质曲面光滑重构中的应用展开了研究,提出一种基于几何偏微分方程的复杂地质曲面重构方法。该方法首先选取合适的偏微分方程,对其中涉及的几何微分算子进行离散化,并讨论离散格式的稳定性,在此基础上,对地质中某一工区数据构建满足偏微分方程离散格式的空间拓扑,并将地质断层作为约束边界条件,采用演化的思想迭代求解几何偏微分方程,将离散方程的稳态解近似看作几何偏微分方程的解去逼近原始曲面,构造离散化网格表达的含复杂断层约束的光滑地质曲面。本文对复杂断层约束下的地质曲面光滑重构问题展开研究,应用几何偏微分方程曲面造型技术,实现了基于不同形式网格表达的含复杂断层约束的光滑地质曲面重构。具体工作如下:对所选择的几何偏微分方程在矩形网格上进行离散化,构造相应的差分格式,并分析其稳定性,通过有限差分法迭代求解差分方程,将差分方程的稳态解近似看作对应偏微分方程的解,并将其作为原始曲面的逼近,重构了基于矩形网格表达的复杂地质曲面,该方法具有计算速度快、易于计算机编程实现等优势,缺点在于矩形网格无法适应地质断层多边形的任意拓扑结构,重构的复杂地质曲面在断层约束处处理不够。为适应地质断层多边形的任意拓扑形状,对地质采样数据进行三角网拓扑构建。首先将空间散点数据投影到二维平面,加入断层约束条件后进行约束Delaunay三角网剖分,然后将平面三角网映射到三维空间,实现空间拓扑构建。通过在三角网上构建微分算子的离散格式,离散化求解所选取的几何偏微分方程,重构了基于三角网表达的复杂多约束地质曲面。基于三角网表达的方法解决了断层约束处的曲面重构问题,但是微分算子离散格式的稳定性条件比较苛刻,且计算速度比较慢。结合矩形网格和三角网格上偏微分方程曲面重构方法的优势,提出了一种基于混合网格表达的复杂地质曲面光滑重构方法。在非断层区域,通过矩形网格上的有限差分法快速迭代求解几何偏微分方程,使重构曲面迅速达到指定光滑度;在断层约束区域,通过在三角网上求解几何偏微分方程,重构适应断层拓扑的地质曲面。这种方式实现了含复杂断层约束的地质曲面的快速光滑重构,同时也保持了断层约束的特性。以实际勘探数据为例,对本文提出的三种地质曲面重构方法进行了验证和对比分析,应用实例表明,这三种方法充分考虑了地质曲面中各种断层等特殊情况,可以重构含复杂断层约束的地质曲面,并各有其特点。这种基于偏微分方程的复杂地质曲面光滑重构方法有望在地质领域展开更深入的研究和应用。