在生态学、经济学、物理、化学及自动控制等科学与工程领域中存在着大量时间延迟系统,延迟系统的特性在于系统的演化依赖过去时间的信息。将此系统构建为数学模型即为延迟微分方程(Delay Differential Equations,以下简记为DDEs),也就是微分方程中包含一个或多个延迟项。一般来说,常见的延迟微分方程中,只有极少数能够获得理论解的解析表达式,因此这类微分方程的数值处理是十分必要的。迄今为止,延迟微分方程系统的稳定性理论、延迟微分方程数值解的研究、延迟项的数值估计等都取得了大量成果。本论文主要研究延迟微分方程理论解与数值解稳定性分析中的几个问题。第二章涉及指数函数exp(z )的有理逼近,该问题与数值方法的稳定性研究密切相关。我们对指数函数exp(z )的一类含双参数的任意高阶有理逼近,获得其A-可接受性和L-可接受性的充要条件。第三章讨论中立型延迟微分方程的稳定性。首先,我们对一类非线性中立型方程获得了( k ,p,0)-代数稳定一般线性方法的数值稳定性结果,特别是证明了在约束网格情形代数稳定的一般线性方法能无条件保持解析解的稳定性。随后进一步讨论了一类隐式非线性中立型多延迟方程解析解的稳定性。第四章主要研究线性延迟微分方程系统稳定性的判定。由于延迟微分方程的特征根构成延迟微分方程解算子半群的无穷小生成元的谱,我们用θ-方法离散延迟微分方程解算子半群的无穷小生成元,从而获得延迟微分方程特征根的数值逼近,利用特征根的位置判定延迟微分方程的系统稳定性。另一方面,将延迟微分方程的数值求解转化为求解离散的抽象柯西问题。本论文中对θ-方法进行数值实验。