【摘 要】
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常微分算子的谱问题广泛应用于各个学科以及众多工程技术领域,因而越来越多的学者致力于这一问题的研究.其中,特征值关于参数的依赖性问题以及逆谱问题是谱问题中两个重要课题,它们在电子学以及量子力学等领域具有实际应用价值,同时也对特征值的数值计算以及数学物理中非线性发展方程的求解起到关键作用.本文主要针对复三阶测度微分方程和区间内部具有转移条件的非自伴Sturm-Liouville算子展开研究,包括耦合型
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常微分算子的谱问题广泛应用于各个学科以及众多工程技术领域,因而越来越多的学者致力于这一问题的研究.其中,特征值关于参数的依赖性问题以及逆谱问题是谱问题中两个重要课题,它们在电子学以及量子力学等领域具有实际应用价值,同时也对特征值的数值计算以及数学物理中非线性发展方程的求解起到关键作用.本文主要针对复三阶测度微分方程和区间内部具有转移条件的非自伴Sturm-Liouville算子展开研究,包括耦合型边值条件下的复三阶测度微分方程的解和特征值关于测度系数在不同拓扑下的连续依赖性问题;耦合型边值条件下复三阶测度微分方程的Ambarzumyan-型定理问题;区间内部具有转移条件的非自伴Sturm-Liouville算子的唯一性以及重构问题.全文共分六章.第一章为绪论,叙述本文的研究背景,选题意义,研究现状以及本文的主要工作.第二章介绍了测度,Lebesgue-Stieltjes积分,弱*拓扑的基本定义和相关性质.此外,给出复三阶测度微分方程解的定义和基本性质.第三章系统地研究了有限区间上复三阶测度微分方程的解关于测度系数在不同拓扑下的连续依赖性问题,证明了解关于测度系数在弱*拓扑下是连续的以及在有界变差范数诱导的强拓扑下是连续可微的.其次,分析了复三阶测度微分方程的基本解关于参数λ的渐近性质以及解析性质.第四章考虑了耦合型边值条件下复三阶测度微分方程的特征值关于测度系数以及边值条件的连续依赖性问题.通过分析特征值的重数与边值条件的关系以及方程的解关于测度系数的连续依赖性,借助隐函数定理,证明了特征值关于测度系数在弱*拓扑下是连续的以及在强拓扑下是连续可微的.此外,我们还证明了特征值关于边值条件的连续可微性.特别地,针对特殊边值条件,利用解的渐近估计以及特征值的计数引理,证明了第n个特征值关于测度系数在强拓扑和弱*拓扑下均为连续的,并且第n个特征值关于测度系数在强拓扑下是可微的.第五章研究了耦合型边值条件下复三阶测度微分方程的Ambarzumyan-型定理问题.借助解的渐近估计,特征值的分布以及特征函数零点的分布,证明了一组特征值可以唯一确定复三阶测度微分方程中的测度系数和边值条件.第六章考虑区间内部具有转移条件的非自伴Sturm-Liouville算子的逆谱问题.首先给出与多重谱对应的广义谱数据的定义.然后,讨论了广义谱数据与Weyl函数之间的唯一确定性问题,并证明了Weyl函数可以唯一确定势函数,边值条件及转移条件.最后,运用谱映射的方法给出用广义谱数据重新构造算子的算法.
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