基于临界点理论,本文研究了两大类非线性问题解的存在性,一类是哈密顿系统的周期解存在性问题,一类是椭圆形偏微分方程边值问题解的存在性。具体来说,所得到的结果如下:　　1.研究了超二次二阶哈密顿系统给定周期问题。法国科学院院士Lions, Ekeland和Coti-Zelati在91年提出了一个公开问题:自然超二次条件是否充分保证哈密顿系统本身对于所有的T>0,哈密顿系统都存在T周期解。这一公开问题在很长时间内都没有解决,一个主要的困难在于自然超二次条件下系统所对应泛函不再满足(尸.义)条件,不论是利用逼近方法还是应用传统的临界点的方法,最后都需要额外的条件来恢复紧性信息。在本文中我们通过变换将问题转化依赖于参数的形式,然后应用Struwe技巧,就可以充分地利用问题本身结构的信息,直接得到有界的(尸.义)序列,从而避开了增加条件获得紧性的问题。尽管这一方法并不能完全地,但却是在很大程度上回答了Lions-Ekeland-Zelati问题:即我们证明了在该条件下,对于几乎所有的T>0,哈密顿系统都存在T周期解。在此基础上,我们提出两个额外的条件,使得对于所有的『>0都存在T周期解。　　研究了给定能量面上哈密顿系统周期解的存在性问题。Gluck和Ziller, Benci,以及Hayashi在八十年代各自使用完全不同的方法得到了在位势函数二阶可微的条件下解存在的结果,这里位势函数二阶可微对每种证明都是关键的,没有这一条件将导致方法直接不可用。通过运用Struwe技巧,我们能够在几乎所有的能量面上将这一条件减弱为一阶可微。　　通过变换和Struwe技巧来深入挖掘问题本身结构信息以获得紧性这种思路还可以用来处理次二次二阶哈密顿系统,以及超二次椭圆方程边值问题。当位势函数满足自然次二次条件以及强制条件时,得到了哈密顿系统的周期解。在特殊的几何区域一圆域上,在仅有自然超二次条件的情况下证明了椭圆型方程解的存在性。这两个结果囊括了之前所有的结果。　　2.研究了渐近线性的哈密顿系统非平凡周期解的存在性问题。因为所给的余项增长条件较弱以及系统所对应的泛函强不定,应用Galerkin逼近方法,首先通过仔细估计逼近泛函在原点和无穷远点增长的形态来计算逼近泛函的临界群,然后综合运用Maslov指标理论和Morse理论得到逼近泛函的临界点,再证明这些临界点构成的逼近解序列存在收敛的子列,收敛的极限点即为系统的解。利用这一方法我们在渐近矩阵满足多种扭转条件时建立了存在性的结果。　　3.研究了两类离散二阶哈密顿系统周期解存在的问题。首先讨论了目前文献尚未解答的问题:离散二阶哈密顿系统能否存在无穷多周期解。给出了位势振荡的条件,在这一条件和次线性的条件下,我们得到两列无穷多解的存在性,其中一列是离散系统所对应的泛函的局部极小点,另外一列是该泛函的极小极大型临界点。然后研究了离散二阶哈密顿系统强共振的情况。得到了至少两个非平凡解的存在性,其中一个解是系统所对应泛函的全局极小点,另外一个非平凡解是通过反证法得出的。　　4.研究了以局部Lipschitz的函数F(x,i)为位势的p(x)-Laplacian型方程所对应的非光滑的泛函,我们证明了它在C1拓扑中的局部极小点也是其在叫拓扑下的局部极小点。