【摘 要】
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本文使用反散射方法、Riemann-Hilbert方法和达布变换方法研究Wadati-Konno-Ichikawa(WKI)方程的孤立子解、呼吸子解和怪波解.第一章主要介绍本文的研究对象——WKI方程,以及
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本文使用反散射方法、Riemann-Hilbert方法和达布变换方法研究Wadati-Konno-Ichikawa(WKI)方程的孤立子解、呼吸子解和怪波解.第一章主要介绍本文的研究对象——WKI方程,以及本文所使用的三种方法.第二章给出反散射方法求解WKI方程的N阶孤立子解.WKI方程的约斯特解比较特殊,当谱参数趋向于无穷时,约斯特解的两个分量并不是趋向于1或者0的情形,而是关于势函数的变量.文章将原来约斯特解的第二个分量替换为该分量与谱参数的商,化简约斯特解的渐近行为,并使用变换之后约斯特解的三角核(triangular kernel)表示构造 Gel’fand-Levitan-Marchenko(GLM)方程,求解GLM方程,从而得到WKI方程的N阶孤立子解.第三章给出Riemann-Hilbert方法求解WKI方程的N阶孤立子解.第二章约斯特解的渐近行为表明WKI方程的约斯特解不能直接用来构造Riemann-Hilbert问题,否则将会导致Riemann-Hilbert问题不可解.为解决此困难,文中引入变换矩阵得到合适的约斯特解,并对谱参数在原点和无穷远处进行谱分析构造可解的Riemann-Hilbert问题,从而求解WKI方程的N阶孤立子解.第四章给出Darboux变换方法求解WKI方程的N阶解.由于WKI方程拉克斯对形式的特殊型,文中首先引入hodograph变换得到WKI方程的等价形式——广义WKI方程,然后研究广义WKI方程的达布变换,最后将广义WKI方程的解转化为WKI方程的解.此外,我们还研究广义WKI方程N阶孤立子解的渐近形式,怪波的解析性以及转化为WKI方程的圈形孤立子解和圈形怪波解.
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