【摘 要】
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参数化在计算几何、计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简称CAGD）、计算机图形学（Computer Graphics,简称CG）、有限元分析（Finite Element Analysis,简称FEA）和等几何分析（Isogeometric Analysis,简称IGA）等领域中应用广泛.实际上,曲线/曲面/体的参数化就是将参数域映射为曲线/曲面/
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参数化在计算几何、计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简称CAGD）、计算机图形学（Computer Graphics,简称CG）、有限元分析（Finite Element Analysis,简称FEA）和等几何分析（Isogeometric Analysis,简称IGA）等领域中应用广泛.实际上,曲线/曲面/体的参数化就是将参数域映射为曲线/曲面/体.常用的参数化方法包括Bézier方法、B样条方法与NURBS方法等.Toric曲面是一类多边形有理参数曲面,其基函数是Bernstein基函数的推广形式,因此Toric曲面在一定程度上保持了 Bézier曲面的优良性质.张量积型有理Bézier曲面、三角型有理Bézier曲面和Warren六边形参数曲面都是它的特殊形式.作为一种有理形式的参数曲面,Toric曲面的形状可以由控制顶点和权因子来控制.Toric体是由三维中的格点集、控制顶点集以及相应的权因子生成的参数体.张量积型有理Bézier体和三维单纯形上的有理Bézier体都是Toric体的特殊形式.在几何与实体造型中,交点问题是一直是研究的热点问题之一.如果映射后的参数曲线/曲面/体不存在自交点,则称这个参数化具有单值性.在图像变形中,单值的参数化可以避免信息的重叠与丢失.随着工业化发展的需求,二维曲面与三维实体的计算域参数化方法也逐渐成为IGA的热点研究问题.在IGA求解的过程中,计算域参数化不存在自交点是保证后续求解过程能够有效进行的前提条件.因此,有关参数曲线/曲面/体的单值性条件与判断算法研究显得尤为重要.本文对二维Toric曲面、Toric体与NURBS体的单值性条件与判断算法进行研究,并将部分结论应用于IGA的计算域参数化中,主要研究结果如下:1.二维Toric曲面单值性的改进判断算法.在2011年,Sottile和Zhu给出了对于给定任意正的权因子,二维Toric曲面都不存在自交点的充分必要条件.该条件基于格点集与控制顶点集之间相容性的几何约束,但在算法实现中不便应用.利用三角形的有向面积,本文将格点集与控制顶点集之间相容性的几何约束转化为代数约束,并借助Pick定理与Farey序列的构造方式对约束条件进行简化,提出一种改进的单值性判断算法,同时给出实例验证了算法的有效性.改进后的算法复杂度由O（n3）降低至O（n2）,其中n为控制顶点个数.最后,将改进后的单值性条件作为约束条件应用到IGA的二维计算域参数化中.对线弹性问题,本文方法与NURBS方法相比可有效提高求解精度.2.Toric体的单值性条件与判断算法.本文首先定义了 Toric体的格点集与控制顶点集之间的相容性.进一步证明了 Toric体对任意给定正的权因子都保持单值性的充分必要条件是其格点集与控制顶点集之间满足相容性条件.采用空间中三个向量混合积的符号来判断两个三维点集之间的相容性,本文给出了一类Toric体单值性的判断算法.进一步地,本文利用组合学中空的格点四面体的结构特征来简化判断算法中所需的条件,有效减少了判断算法中冗余的计算,并给出具体实例验证了算法的有效性.3.NURBS体单值性的充分条件与判断算法.参数化满足单值性的本质是其Jacobian函数值在定义域内保持符号恒定,NURBS参数化的Jacobian函数值实际上由其沿各个参数方向的切向量所形成行列式的值决定.因此,本文首先给出了 NURBS体沿各个参数方向上的切向量及其切锥边界向量的计算方式.进一步,对其切锥边界向量计算过程进行简化,并给出了计算切锥边界向量所需要的计算量与控制顶点个数之间的关系.当NURBS体沿三个参数方向的切锥两两之间只交于原点时,在整个定义域内NURBS体参数化的Jacobian函数值不变号,从而NURBS体满足单值性.根据上述NURBS体单值性的充分条件,本文给出了相应的单值性判断算法,并通过实例验证了算法的有效性.
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