【摘 要】
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本论文主要研究以下两方面内容:首先,2015年,M.Tkachenko和I.S′anchez在国际知名期刊《Topology and Its Application》中提出以下公开问题:设G是满足Hausdorff分离公理的仿拓扑群,且具有可数Hausdorff数,则G中每一个有界子集是强有界的吗?我们给出此问题的部分回答;其次,我们研究了特征（或权势）小于等于任意基数κ乘积仿拓扑群子群的刻画.本
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本论文主要研究以下两方面内容:首先,2015年,M.Tkachenko和I.S′anchez在国际知名期刊《Topology and Its Application》中提出以下公开问题:设G是满足Hausdorff分离公理的仿拓扑群,且具有可数Hausdorff数,则G中每一个有界子集是强有界的吗?我们给出此问题的部分回答;其次,我们研究了特征（或权势）小于等于任意基数κ乘积仿拓扑群子群的刻画.本文的结构安排如下:第一章,我们给出了本文中常用的术语与符号,概述了本文的研究目的和意义以及介绍了国内外研究现状.第二章,我们首先引入强Hausdorff数的概念并研究了它的子空间遗传性与乘积保持性.接下来我们利用强Hausdorff数研究了仿拓扑群中的有界子集的相关性质,得到了:满足Hausdorff分离公理且具有可数强Hausdorff数的仿拓扑群是ω-admissible仿拓扑群（定理2.2.1）.应用此结果,我们证明了:设G是满足Hausdorff分离公理的仿拓扑群,且具有可数的强Hausdorff数,则G的每一个有界子集都是强有界的（推论2.2.2）.此结果部分回答了M.Tkachenko和I.S′anchez提出的公开问题.第三章,我们将M.Tkachenko和I.S′anchez嵌入到满足第一可数（或第二可数）公理乘积仿拓扑群子群刻画的相关结果进行推广,将可数的情形推广到任意基数κ,得到了如下结果:（1）设G是满足Hausdorff（或T1、正则）分离公理的仿拓扑群,{Hi:i∈I}是一族满足Hausdorff（或T1、正则）分离公理的仿拓扑群集族,且满足特征小于等于κ,则G拓扑同构于乘积仿拓扑群∏?i∈IHi的一个子群当且仅当G是κ-balanced仿拓扑群且H s（G）≤κ（或S m（G）≤κ、Ir（G）≤κ）;（2）设G是满足Hausdorff（或T1、正则）分离公理的仿拓扑群,{Hi:i∈I}是一族满足Hausdorff（或T1、正则）分离公理的仿拓扑群集族,且满足权势小于等于κ,则G拓扑同构于乘积仿拓扑群∏?i∈IHi的一个子群当且仅当G是完全κ-narrow仿拓扑群且Hs（G）≤κ（或S m（G）≤κ、Ir（G）≤κ）;（3）设G是满足T0分离公理的仿拓扑群,{Hi:i∈I}是一族满足T0分离公理的仿拓扑群集族,且满足特征（或权势）小于等于κ,则G拓扑同构于乘积仿拓扑群∏?i∈IHi的一个子群当且仅当G是κ-balanced（或完全κ-narrow）仿拓扑群.
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