【摘 要】
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关于极限环个数的问题最早由Ponicare提出,1900年,数学家Hilbert在国际数学家大会上提出的23个问题中的第16个问题的后半部分:设Fn(x,y),Gn(x,y)是平面上次数不超过n的实系数
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关于极限环个数的问题最早由Ponicare提出,1900年,数学家Hilbert在国际数学家大会上提出的23个问题中的第16个问题的后半部分:设Fn(x,y),Gn(x,y)是平面上次数不超过n的实系数多项式,平面n次多项式系统的极限环个数的最大值N(n)及其相对位置。本文考虑将平面分成λ(λ=2,3,4,5)个扇形区域的平面分段线性哈密顿系统在n次多项式扰动下极限环个数的下界,利用一阶Melnikov函数以及泰勒展开等方法得到了扇形区域个数不同的分段线性哈密顿系统在n次多项式扰动下极限环个数下界.从原点出发的λ条射线l0,l1,…,lλ-1将平面分成λ个扇形区域,Dk表示射线lk-1与lk之间所夹的区域,其中1 ≤ ≤ λ,全l0.考虑如下系统其中0<ε《1,Hk(x,y)是Dk上的二次实系数多项式,Pk(x,y),Qk(x,y)是Dk上的n次实系数多项式,k=1,2,…,λ.第一章介绍了平面分段线性哈密顿系统在n次多项式扰动下的研究背景,并介绍了本文的主要结论:本文研究了四类平面分段线性Hamilton系统在n次多项式扰动下极限环个数的下界.第二章给出了定理证明所用到的相应的引理、命题及推论.第三章、第四章、第五章和第六章分别计算了当λ=2.λ=3,λ=4和λ=5时,系统的一阶Melnikov函数并通过泰勒展开和第二章的推论,分别估计了上述系统的一阶Melnikov函数的变号零点个数的下界,进而给出了分段线性哈密顿系统在n次多项式扰动下极限环个数的下界.
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