【摘 要】
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将代数问题转换为等价图论问题一直是一个热门研究问题,分类问题和小阶数无限族问题是代数理论中的重点研究对象.一个半群S的Graham-Houghton图是一个二部图,一个部集与S的L等价类对应,另一个部集与S的H等价类对应,边集恰好对应于S中具有幂等元的H等价类.Graham引入这些图来研究0-Simple半群的幂等生成子半群,Graham的结果后来被Houghton重新给出了拓扑解释.在正则半群或
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将代数问题转换为等价图论问题一直是一个热门研究问题,分类问题和小阶数无限族问题是代数理论中的重点研究对象.一个半群S的Graham-Houghton图是一个二部图,一个部集与S的L等价类对应,另一个部集与S的H等价类对应,边集恰好对应于S中具有幂等元的H等价类.Graham引入这些图来研究0-Simple半群的幂等生成子半群,Graham的结果后来被Houghton重新给出了拓扑解释.在正则半群或幂等生成半群中,这个图的连通分支与半群的D等价类之间存在自然双射.Graham指出这些图是研究幂等生成半群的重要工具.考虑不可逆矩阵在乘法下构成的矩阵半群,是正则半群,它是一类特殊的全变换半群.本文研究了两类特殊的全线性幺半群的Graham-Houghton图.我们例举了有限域上小阶数矩阵半群的Graham-Houghton图,对Green等价关系进行划分并给出了M2(Fq)上的幂等元计数公式.我们证明了有限域Fq上M2(Fq)对应Graham-Houghton图是正则度数为q的双正则图.与此同时,我们例举了当n ≤10时更一般的模n剩余类环Z/nZ上全矩阵代数的Graham-Houghton图,并证明了M2(Z/nZ)中代表元(?)所在D等价类对应的Graham-Houghton图是正则度数为n的双正则图。
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