本文主要研究共形映射与矩形区域的双曲度量及共形度量的双曲凸性. 共形映射理论是复变函数论的一个分支，也是函数论中重要的研究方向之一，它是用几何的观点来研究复变函数，是解析函数的几何理论，随着人们对共形映射的研究的不断深入，共彤映射理论已逐步渗透到数学其它分支、物理学和工程技术等各个领域，为其它学科的发展提供了有力的研究工具． 本文共分三章： 第一章，绪论．在这章中，我们简单介绍了共形映射和双曲度量的概念、性质及其相关知识；并简要地介绍了本文的研究背景和主要结果． 第二章，矩形的双曲度量，本章利用椭圆函数的性质，给出了矩形区域在中心周围四点处的双曲度量密度，并结合共形模的知识，给出了模为m的一类矩形区域在相应四点处的双曲度量密度；一般地，给出了矩形区域内的两条线上任意点的双曲度量密度；还讨论了矩形区域的测地线， 第三章，Nehari函数族与共形度量的双曲凸性，我们称满足Nehari单叶性判据的解析函数全体所组成的集合为Nehari函数族．在本章中，我们介绍了Schwarz导数与Nehari函数族的基本理论；结合双曲凸函数的概念，我们讨论了Schwarz导数在一般情形即满足｜Sf（z）｜≤2α（1+（1-α）｜z｜2）（1-｜z｜2）—2，（1≤α≤2）的Nehari函数族与共形度量的双曲凸性，得到了单位圆盘在Nehari函数作用下的像区域的共形度量为双曲凸函数的条件。