板壳结构被大量应用于各种领域,例如航空航天、船舶等。为了得到更高的刚度和更轻的重量,这些结构往往含有加强筋、肋板、以及其它复杂的微结构,比如波纹板、蜂窝板和带有格栅桁架芯层的夹层板。由于这些复杂微结构的存在,对由它们组成的宏观结构的分析往往很费时。为了降低计算工作量,可以将这类结构简化为宏观均匀的各向异性板壳结构。采用这样的算法时,关键是获得它们的宏观等效性质。本文主要针对工程中常见的具有周期性微结构的板结构(以下简称周期性板结构),研究计算其等效性质的渐近均匀化方法和周期性微结构的优化。代表体元法(RVE)和渐近均匀化方法(AH)是预测周期性材料等效性质的两种数值方法。代表体元法具有清晰的力学概念,操作简单,但它不是基于严格的数学理论,所以只能提供等效性质的近似估计。渐近均匀化方法具有严格的数学基础,在计算三维和二维周期性微结构的材料等效性质方面已经具有成熟的理论和算法。周期性板壳的微结构只在板壳中面内有周期性,在厚度方向没有周期性,这一困难成为计算周期性板壳等效性质的瓶颈。Kalamkarov等发展了周期性板壳结构的渐近均匀化数学理论,但是,复杂的推导和表达式使得这一理论一直没有有限元实现。本文首先在周期性板壳的渐近均匀化理论基础上提出并实现了周期性板结构的渐近均匀化方法的有限元列式,采用实体单元和板壳单元实现算法,并把这种方法用来分析具有复杂微结构的周期板结构。这种方法提供了一个评估其它各种计算等效模量方法的标准测试平台,如代表体元法等。在以上工作基础上,本文提出了一种渐近均匀化方法的新的求解方法。这种新的求解方法先在具有周期性微结构的三维(二维)连续体上精确实现了渐近均匀化方法,因此具备严格的数学理论基础,而且像代表体元法那样操作简单。该方法可以很方便地把商业软件作为一个黑箱使用,并且可以利用商业软件中包含的各种单元类型和模型化技术来模拟具有复杂微结构的单胞,从而使单胞有限元模型保持在较小的规模下。进一步地,三维(二维)周期材料的渐近均匀化方法的新数值求解方法可以很容易地推广到板壳结构的渐近均匀化方法中,而不需要复杂的数学推导,在按严格的理论实现了具有周期性微结构的材料的均匀化的同时,也实现了将三维结构降维为二维板壳。多个算例证明了这种新的求解方法的简单和有效。基于这一方法还可得到具有周期性微结构的板壳的宏观性能对微结构参数的灵敏度分析的解析公式,为板壳结构微结构的逆均匀化提供方便。蜂窝板的大量应用要求对其在不同单胞尺寸下的等效刚度的预测。现有的等效刚度的解析和近似公式都具有一定的应用范围。本文采用作者提出的周期性板等效模量的新求解方法研究了六角蜂窝板在壁厚和高度等在相当大的范围内变化时的等效刚度,给出了计算蜂窝板等效刚度的一系列解析近似公式,并对其进行了验证,讨论了文献中已有的近似解析解的精度、经典层合板理论适用的条件及泊松比的影响等。基于周期性板壳结构的均匀化方法,我们可以通过对一个单胞的设计,实现对周期性板壳结构的等效性能的优化,包括对单胞的拓扑优化。为了解决拓扑优化中存在的一些问题,为周期性板壳结构微结构的拓扑优化提供帮助,本文研究了拓扑优化中的可制造性。虽然文献中有很多这方面的工作,但它仍然是一个有待解决的困难问题。在徐胜利、本文作者和程耿东提出的参数化Heaviside密度过滤函数基础上,受到文献中关于可制造性和鲁棒性设计的启发,本文采用一个简化的极大极小问题列式,并用凝聚函数方法求解。为了实现最优拓扑中的可制造性,本文算法中采用了一些启发式的方法。假设腐蚀、中间、膨胀设计具有相同的拓扑,得到了过滤半径、参数化Heaviside密度过滤方法中的阈值、最小尺寸之间的近似关系,从而提供了如何在期望最小尺寸下选择合适的过滤半径和阈值的依据,因此实现了可制造性控制。本文采用松弛算法,能够很大程度上满足腐蚀、中间、膨胀设计具有相同的拓扑。多个算例验证了本文算法的有效性,包括最小柔顺性问题、柔性机构设计、热传导问题,和以等效刚度为目标的周期性板壳微结构拓扑优化问题。最后,本文研究了以蜂窝板的等效性质和屈曲载荷为目标的微结构参数优化和拓扑优化。本文采用板壳结构的均匀化方法求解周期性蜂窝板的等效刚度,然后由这些等效刚度求解屈曲载荷。这样做避免了对宏观精细有限元模型的分析,而只需要分析一个单胞,大大减少了计算时间。在参数优化中,本文采用基于Kriging代理模型的优化方法,通过设计蜂窝的尺寸,比如倾角和长宽比,实现蜂窝板单位材料用量下的屈曲载荷最大化。在拓扑优化中,本文利用宏观性能对微结构参数的灵敏度分析的解析公式,采用逆均匀化方法,通过设计板的微结构来优化板的等效性质和屈曲载荷等。本文考虑了蜂窝板的优化,蜂窝壁和板中面垂直。为了得到蜂窝类材料,本文对沿板厚度方向的单元密度进行变量连接。