【摘 要】
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分数阶Laplace算子是一类非局部拟微分算子,被称为分数阶扩散通量,常出现在许多远程或反常物理现象中,例如Lévy飞行、扰动以及等离子的反常扩散等.相较于整数阶算子,分数阶Laplace算子在描述一些物理现象和动态过程时更加准确.因此,越来越多的数学家致力于研究分数阶微分方程.特别地,数学家们对非平凡整解的不存在性和非负解的存在性进行了大量的研究并且得到了许多相关问题的结果.本文主要研究几类带分
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分数阶Laplace算子是一类非局部拟微分算子,被称为分数阶扩散通量,常出现在许多远程或反常物理现象中,例如Lévy飞行、扰动以及等离子的反常扩散等.相较于整数阶算子,分数阶Laplace算子在描述一些物理现象和动态过程时更加准确.因此,越来越多的数学家致力于研究分数阶微分方程.特别地,数学家们对非平凡整解的不存在性和非负解的存在性进行了大量的研究并且得到了许多相关问题的结果.本文主要研究几类带分数阶Laplace算子的发展方程(组)非平凡整解的不存在性和半线性伪抛物不等方程非负解的存在性.利用检验函数方法,我们得到所考虑方程(组)非平凡整解的不存在性,并且给出了解的爆破条件.首先建立方程(组)的弱解定义.然后利用H?lder不等式、ε-Young不等式以及Ju不等式等得到关于弱解的积分估计.结合检验函数的性质以及分数阶Laplace算子的定义分别得到不等式的估计.最后根据估计式得到非平凡整解的不存在性,并且给出了解的爆破条件.此外,基于上解法和变形Bessel函数,我们考虑了半线性伪抛物不等方程非负解的存在性.由于我们所考虑的分数阶发展方程(组)没有初始条件的限制,所以其弱解的定义与已有文献中的定义显然有所不同.此外,由于分数阶Laplace算子的非局部性以及伪抛物三阶项的出现,使得伪抛物方程(组)的证明过程比相应的抛物方程(组)更加复杂.本文不存在性的证明是基于适当的检验函数的构造,这是本文不存在性证明的关键.通过构造半线性伪抛物不等方程的显式非负解,我们证明了其解的存在性.
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