21世纪以来,拓扑绝缘体的理论提出和实验发现引起了人们对拓扑材料的极大兴趣。外尔半金属的出现又进一步将拓扑材料从绝缘体推广到了半金属。外尔半金属具有很多新奇的性质,比如表面费米弧、手征反常、负磁阻以及手征磁效应等等。自外尔半金属提出以来,怎样去寻找天然外尔半金属材料或者在特定体系和特定外场条件下实现外尔半金属相一直是很热门的问题。本论文第一部分将提出两种实现外尔半金属的方案,一种是在(加应力的)α-Sn体系引入磁场或圆偏振的光场,另一种是在扩展的Harper模型引入周期驱动项。此外,如何去刻画外尔半金属特殊的能带结构及其所具有的的拓扑性质也是非常值得探讨的问题。本论文第二部分使用纠缠谱以及光晶格中的波包动力学去刻画外尔半金属的性质。本文的具体内容安排如下:第一章绪论首先简单回顾了拓扑物态的发展历程,即从量子霍尔效应和拓扑绝缘体到拓扑半金属。然后介绍了外尔半金属的基本性质,包括外尔费米子的来源、外尔半金属的拓扑稳定性、费米弧、手征反常和负磁阻效应。最后简单介绍了最近发现的其他半金属,如第二类外尔半金属、狄拉克半金属和线节点半金属。第二章讨论了如何在α-Sn体系里加入应力、磁场或者圆偏振光场实现外尔半金属相。首先我们基于α-Sn的结构和对称性给出了它的k·p的Luttinger哈密顿量。然后我们分别讨论了加应力、磁场和光场的情况。我们发现了应力诱导的狄拉克点、磁场和光场诱导的(双重)外尔点。此外,应力项的引入破坏了系统的C3,111对称性,从而导致了系统对于[001]方向和[100]方向的磁场和光场具有不同的响应。值得一提的是,[100]方向的磁场和光场可以在加应力的α-Sn中诱导出"理想"外尔点。第三章首先简单介绍了在静态以及时间驱动下的扩展Harper模型里实现静态和动态的外尔半金属相的办法,然后着重讨论了在此模型里引入最近邻格点P-波超导配对带来的效应。我们发现在静态和动态的Harper模型中,通过调节超导配对势的大小,系统可以处于全带隙的绝缘相或者具有点节点或者线节点的半金属相。通过计算不同相的拓扑不变量以及体边对应关系,我们发现了系统表面出现了马约拉纳平带以及特定参数下连接不同平带区域的狄拉克弧。因而我们的模型在同一系统里实现了两种具有不同来源的拓扑零(π)模,即类似Kitaev的马约拉纳零(π)模和类似Su-Schrieffer-Heeger的狄拉克零(π)模。第四章研究了外尔半金属的纠缠谱。我们首先介绍了纠缠谱的概念和计算方法。然后采用降低维度的手段,将外尔半金属看成一系列二维绝缘体(除了包含外尔点的平面)的集合,分别计算了两个外尔半金属格点模型的纠缠谱和迹指标。通过比较它们的物理谱和纠缠谱,我们发现物理哈密顿量边缘态和纠缠哈密顿量边缘态的一一对应关系在这里依然成立。迹指标和陈数等价的关系也再次得到验证。第五章研究了光晶格中外尔准粒子的波包动力学。首先我们介绍了如何用光晶格模型实现外尔半金属相,然后让初始位置在外尔点的高斯波包进行自由演化。通过解析和数值求解演化过程中波包的密度分布以及波包质心位置的变化来分析外尔准粒子的动力学特性。最后将波包质心位置同系统的拓扑性质如外尔点的手征和陈数等联系起来。由于波包密度分布可以通过飞行时间实验观察,我们的研究提供了直接探测外尔半金属拓扑性质的办法。第六章做了简单的总结和对外尔半金属领域的一点展望。